BENTUK PANGKAT DAN BENTUK AKAR
BENTUK PANGKAT
Jika terdapat pernyataan 2^n, maka 2 disebut dengan bilangan pokok sedangkan n disebut dengan bilangan pangkat atau dapat juga disebut dengan eksponen.
Definisi:
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan a adalah bilangan real, maka a^n didefinisikan sebagai perkalian n factor yang masing-masing faktornya adalah a.
a^n=a×a×a×a×….×a
n factor
Untuk m dan n bilangan bulat positif, berlaku Sifat-sifat pangkat bulat positif:
a^0=1 dengan a≠0
a^(-n)=1/a^n
Contoh soal:
Nyatakan dalam perkalian berulang:
5^3
(-1/3)^5
x^4
Penyelesaian:
5^3=5×5×5
(-1/3)^5=(-1/3)×(-1/3)×(-1/3)×(-1/3)×(-1/3)
x^4=x.x.x.x
Sederhanakanlah:
a^6/a^2
5d^5:10d^2
(a^8 b^3 c^4)/(a^2 〖cb〗^2 )
2a^4 b×3a^5 b^3
Penyelesaian
a^6/a^2 =(a×a×a×a×a×a)/(a×a)=a×a×a×a=a^4 dapat juga diselesaikan dengan sifat
a^6/a^2 =a^(6-2)=a^4
5d^5:10d^2=〖(5:10)d〗^(5-2)=d^3/2
(a^8 b^3 c^4)/(a^2 〖cb〗^2 )=a^(8-2) b^(3-2) c^(4-1)=a^6 bc^3
2a^4 b×3a^5 b^3=(2×3)×(a^4×a^5 )×(b×b^3)
=6a^9 b^4
Latihan Soal:
Sederhanakanlah
((x^(-1) y^(1/2) z)/(x^(-2/3) y^(1/3) z))^6
(x^3/y)^m (y^m/x^3 )^m
BENTUK AKAR.
Sifat bentuk akar:
a^□(1/n)=√(n&a) dan a^□(m/n)=√(n&a^m )
√(n&a) mewakili suatu bilangan rasional jika dan hanya jika a adalah perkalian berulang sebanyak n faktor dari suatu bilangan rasional lainnya. Contoh:
Untuk n=2; √4,√9,dan √16 adalah bilangan rasional karena √4=2 atau 2×2=4,√9=3 atau 3×3=9 atau √16=4 atau 4×4=16.
Untuk n>2; ∛27,∜81,√(5&-32) adalah bilangan rasional.
Sedangkan √2,√5,∛9,√15 adalah bilangan irrasional karena bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q≠0. Bilangan-bilangan irrasional tersebutlah yang disebut dengan bentuk akar.
Sifat:
Untuk setiap bilangan real a dan b, dan bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga √(n&a) dan √(n&b) adalah real maka berlaku sifat:
(√(n&a))^n= a jika n genap
a jika n ganjil
√(n&a).√(n&b)=√(n&ab)
(√(n&a) )/(√(n&b) )=√(n&a/b)
√(m&√(n&a))=√(mn&a)
Contoh Soal:
Sederhanakanlah bentuk √(288x^5 ).
Penyelesaian:
√(288x^5 )=√(144x^4.2x)=12x^2 √2x
Latihan Soal:
Sederhanakanlah:
∛(16a^5 b^8 y^4 )
a^5 ∛(a^2 )
Hitunglah nilai bentuk pangkat di bawah ini jika diketahui nilai variabelnya.
A=4p^2 r^2 dengan p=10,r=1.
Q=2a^(1/2) b^(-1/3) dengan a=100 dan b=64.
OPERASI ALJABAR BENTUK AKAR
Operasi aljabar pada bentuk akar juga berlaku sifat komutatif, assosiatif, dan distributif. Sifat-sifat tersebut berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan real. Jika a dan b bilangan rasional positif, maka berlaku:
√a+√b=√b+ √a
x√a+y√a=(x+y)√a
(√a×√b)^2=√(a) √b×√a √b=√a √a×√b √b=ab
√a×√a=a
√a×√b=√ab
Contoh Soal:
Sederhanakanlah bentuk √18+√8 .
Penyelesaian:
√18+√8=√9.2+√4.2
=3√2+2√2
=5√2
Latihan Soal:
Ubahlah bentuk √(32x^2 y^3 )-√(50xy^2 )-3√(2x^2 y^3 )+5y√2x ke bentuk paling sederhana!
MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN
Suatu pecahan dengan penyebutnya yang merupakan bentuk akar akan lebih mudah dinyatakan sebagai pendekatan desimal apabila penyebutnya dijadikan bilangan rasional. Sebagai contoh untuk menghitung nilai 6/√2 . Pendekatan desimal untuk √2 adalah 1,4142. Tanpa menggunakan kalkulator tentu saja akan memakan waktu yang lama untuk menghitung 6/1,4142 . Cara lain untuk menghitung 6/√2 adalah dengan menggunakan sifat √2×√2=2, perhatikan langkah dibawah ini:
6/√2=6/√2×√2/√2=(6√2)/2=3√2
3√2=3×1,4142=3,2426
Contoh Soal:
Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahannya.
k/(√a+√b)
(1-√2)/(1+√2)
Penyelesaian:
k/(√a+√b)=k/(√a+√b)×(√a-√b)/(√a-√b)
=(k(√a-√b))/(a-b)
(1-√2)/(1+√2)=(1-√2)/(1+√2)×(1-√2)/(1-√2)
=(1-2√2+2)/(1-2)=(3-2√2)/(-1)=-3+2√2
Latihan soal:
Rasionalkan penyebut tiap-tiap pernyataan dibawah ini;
a/(√(b+a)-√b)
(√(x+h)-√x)/(√(x+h)+√x)
PERSAMAAN PANGKAT SEDERHANA
Persamaan yang berbentuk a^x=b disebut persamaan pangkat. Misal 4^x=64,5^2x=√5/5, dan 2^3x=4^(2x-1).
Sifat:
a^f(x) =a^c; dengan c konstanta dan a>0, a≠1, maka f(x)=c.
Contoh soal:
Tentukan nilai x yang memenuhi 4^x=64.
Penyelesaian:
4^x=64 (tulis 64 sebagai bilangan pangkat dengan bilangan pokok 4).
4^x=4^3
jadi x=3
Tentukan nilai x yang memenuhi 5^2x=√5/5 .
Penyelesaian:
5^2x=√5/5
5^2x=5^(1⁄2)/5^1
5^2x=5^(1/2-1)
5^(2x)=5^(-1/2)
2x=-1/2
jadi x=-1/4
Tentukan nilai x yang memenuhi 2^3x=4^(2x-1).
Penyelesaian:
2^3x=2^(2(2x-1))
3x=2(2x-1)
3〱=4x-2
-x=-2
Jadi x=2
Latihan Soal:
Tentukan x yang memenuhi persamaan di bawah ini:
9^(3x+2)=1/3^(2x-5)
√(9^(2x+4) )=(1/3)^(-3x-3)
(1/4)^(x-1)=∛(2^(3x+1) )
LOGARITMA
LOGARITMA BASIS 10
Jika diketahui bilangan pokok dan hasil pangkat, maka untuk mencari bilangan pangkat (eksponen) digunakan logaritma.
Contoh:
Jika diketahui 〖10〗^a=1000, maka nilai a adalah logaritma 1000, atau ditulis dengan
(_^10)log〖1000=3〗
Dalam notasi lagaritma, bilangan pokok disebut juga dengan basis.
Catatan: Logaritma dengan bilangan pokok 10 biasanya tidak dituliskan bilangan pokoknya.
LOGARITMA SEBAGAI INVERS DARI PERPANGKATAN
Definisi:
jika dan hanya jikaa^y=x untuk a>0 dan a≠1.
Sebagai contoh ditunjukkan pada table dibawah ini;
Logaritma Bentuk pangkat
〖10〗^2=100
3^2=9
5^3=125
(1/5)^(-3)=125
4^(-3)=1/64
e^0=1
Latihan Soal:
Nyatakan tiap bentuk pangkat dibawah ini dalam bentuk logaritma yang ekuivalen.
(1/√5)^2=5^(-1)
b^z=w
Hitunglah logaritma dibawah ini:
Tentukan x,a, atau u yang memenuhi persamaan dibawah ini:
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Jika x dan y bilangan real positif dan r bilangan real dimana a>0 dan a≠1,
Sifat-sifat logaritma antara lain:
Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tadi.
Bukti:
Misal : maka …..(1)
maka …..(2)
Jika persamaan (1) dikalikan (2) diperoleh :
….terbukti.
Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan itu.
Bukti:
Misal : maka …..(1)
maka …..(2)
….terbukti.
Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu.
Bukti:
n faktor
n suku
……terbukti.
Mengubah bilangan pokok logaritma.
Bukti:
maka
….terbukti.
…terbukti.
Sifat :
Bukti:
a.
…terbukti.
b.
…terbukti.
c.
…terbukti
Contoh soal:
Tentukan hasil dari :
2. Jika ,maka nyatakanlah dalam a.
Jawab:
a).
b).
c).
Latihan soal:
Tentukan hasil dari :
2. Jika ,maka nyatakanlah logaritma dibawah ini dalam a.
Rabu, 15 April 2009
Rabu, 25 Maret 2009
Kebanggaanku padamu
Satu yang aku banggakan dari kamu, kamu selalu mau menemaniku didalam kesepianku.
Satu yang aku banggakan dari kamu, kamu mau menyayangiku setiap saat.
satu yang aku banggakan dari kamu, kamu selalu mau menantiku, tak kenal letih menunggu waktu berjalan.
Satu yang aku banggakan dari kamu, kamu selalu ada ketika aku membutuhkan seseorang untuk membantuku.
Satu yang aku banggakan dari kamu, kamu membuatku menjadi seseorang yang bisa berpikir lebih dewasa.
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
ini hanya sedikit ungkapanku tentang rasa banggaku padamu. Setiap hari aku merasa bangga padamu.. hingga tak ada satu kata lagi untuk mengunggkapkannya.
Namun satu yang bisa kurasakan ketika aku merasa bangga padamu... Rasa sayang....
By http://ziana06mathuny.blogspot.com
Satu yang aku banggakan dari kamu, kamu mau menyayangiku setiap saat.
satu yang aku banggakan dari kamu, kamu selalu mau menantiku, tak kenal letih menunggu waktu berjalan.
Satu yang aku banggakan dari kamu, kamu selalu ada ketika aku membutuhkan seseorang untuk membantuku.
Satu yang aku banggakan dari kamu, kamu membuatku menjadi seseorang yang bisa berpikir lebih dewasa.
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
Satu yang aku banggakan dari kamu .......
ini hanya sedikit ungkapanku tentang rasa banggaku padamu. Setiap hari aku merasa bangga padamu.. hingga tak ada satu kata lagi untuk mengunggkapkannya.
Namun satu yang bisa kurasakan ketika aku merasa bangga padamu... Rasa sayang....
By http://ziana06mathuny.blogspot.com
Selasa, 17 Maret 2009
Pacaran itu suatu hal yang mengesankan dan harus dipertahankan jika memang sudah sepadan, seperti kata-kata berikut ........cinta tak pernah akan Begitu indah, Jika tanpa persahabatan.......yang satu selalu menjadi penyebab yang lain dan prosesnya...adalah irreversible....
Seorang pencinta yang terbaik adalah sahabat yang terhebat. Jika kamu mencintai seseorang, jangan berharap bahwa seseorang itu akan mencintai kamu persis sebaliknya dalam kapasitas. Satu diantara kalian akan memberikan lebih, yang lain akan dirasa kurang... Begitu juga dalam cinta. Kamu yang mencari, dan yang lain akan menanti ......
Jangan pernah takut untuk jatuh cinta .... mungkin akan begitu menyakitkan, dan mungkin akan menyebabkan kamu sakit dan menderita.....tapi jika kamu tidak mengikuti kata hati, pada akhirnya kamu akan menangis...... ..... jauh lebih pedih
......karena saat itu menyadari bahwa kamu tidak pernah memberi.......cinta itu sebuah
jalan.Cinta bukan sekedar perasaan, tapi sebuah komitmen.......perasaan bisa datang dan pergi begitu saja........Cinta tak harus berakhir bahagia.......karena cinta tidak harus berakhir.........
Cinta sejati mendengar apa yang tidak dikatakan........dan mengrti apa yang tidak dijelaskan, sebab cinta tidak datang dari bibir dan lidah atau pikiran .......melaikan
Dari HATI.
Ketika kamu mencintai jangan mengharapkan apapun sebagai imbalan, karena jika Kamu demikian, kamu bukan mencintai melainkan.......investasi.
Jika kamu mencintai, kamu harus siap untuk menerima penderitaan. Karena jika kamu
Mengharapkan kebahagiaan, kamu bukan mencintai.......melainkan memamfaatkan.
Lebih baik kehilangan harga diri dan egomu bersama seseorang yang kamu cintai dari pada kehilangan seseorang yang kamu cintai, karena egomu yang tak berguna itu.......
Jangan mencintai seseorang seperti bunga, karena bunga mati kala musim berganti, cintailah mereka seperti sungai, sebab sungai mengalir selamanya.........
Cinta mungkin akan meninggalkan hatimu bagaikan kepingan- kepingan kaca, tapi tancapkan dalam pikiranmu, bahwa ada seseorang akan bersedia untuk menambal lukamu dengan mengumpulkan kembali pecahan- pecahan kaca itu.......
Sehingga kamu akan menjadi utuh kembali.......
So..........Berjuanglah hingga mendapatkan CINTA SEJATI
Seorang pencinta yang terbaik adalah sahabat yang terhebat. Jika kamu mencintai seseorang, jangan berharap bahwa seseorang itu akan mencintai kamu persis sebaliknya dalam kapasitas. Satu diantara kalian akan memberikan lebih, yang lain akan dirasa kurang... Begitu juga dalam cinta. Kamu yang mencari, dan yang lain akan menanti ......
Jangan pernah takut untuk jatuh cinta .... mungkin akan begitu menyakitkan, dan mungkin akan menyebabkan kamu sakit dan menderita.....tapi jika kamu tidak mengikuti kata hati, pada akhirnya kamu akan menangis...... ..... jauh lebih pedih
......karena saat itu menyadari bahwa kamu tidak pernah memberi.......cinta itu sebuah
jalan.Cinta bukan sekedar perasaan, tapi sebuah komitmen.......perasaan bisa datang dan pergi begitu saja........Cinta tak harus berakhir bahagia.......karena cinta tidak harus berakhir.........
Cinta sejati mendengar apa yang tidak dikatakan........dan mengrti apa yang tidak dijelaskan, sebab cinta tidak datang dari bibir dan lidah atau pikiran .......melaikan
Dari HATI.
Ketika kamu mencintai jangan mengharapkan apapun sebagai imbalan, karena jika Kamu demikian, kamu bukan mencintai melainkan.......investasi.
Jika kamu mencintai, kamu harus siap untuk menerima penderitaan. Karena jika kamu
Mengharapkan kebahagiaan, kamu bukan mencintai.......melainkan memamfaatkan.
Lebih baik kehilangan harga diri dan egomu bersama seseorang yang kamu cintai dari pada kehilangan seseorang yang kamu cintai, karena egomu yang tak berguna itu.......
Jangan mencintai seseorang seperti bunga, karena bunga mati kala musim berganti, cintailah mereka seperti sungai, sebab sungai mengalir selamanya.........
Cinta mungkin akan meninggalkan hatimu bagaikan kepingan- kepingan kaca, tapi tancapkan dalam pikiranmu, bahwa ada seseorang akan bersedia untuk menambal lukamu dengan mengumpulkan kembali pecahan- pecahan kaca itu.......
Sehingga kamu akan menjadi utuh kembali.......
So..........Berjuanglah hingga mendapatkan CINTA SEJATI
C I N T A
cinta bagiku adalah hatiku. Dan hatiku telah terisi penuh oleh seseorang.. Semoga ia adalah hatiku untuk hari ini,besok, dan selamanya.
Kamis, 05 Maret 2009
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Sekolah : SMK
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XI (Sebelas) / 1
Jurusan/kelompok : Sosial, Administrasi Perkantoran, Akuntansi
Standar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan Konsep Operasi Bilangan Riil.
Kompetensi Dasar : 1. Menerapkan Operasi pada Bilangan Riil..
Indikator : 1. Konsep perbandingan (skala), yang digunakan dalam penyelesaian masalah program keahlian.
Alokasi Waktu : 20 menit.
A. Tujuan Pembelajaran
a. Siswa dapat menghitung skala perbandingan.
B. Materi Ajar
1. Perbandingan (skala)
C. Metode Pembelajaran
Tanya jawab, diskusi, penugasan.
D. Langkah-langkah kegiatan
Pendahuluan
Apersepsi : Siswa mengingat kembali konsep perbandingan.
Motivasi : Apabila materi ini telah dikuasai dengan baik maka akan dapat membantu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan dan skala.
Tujuan : Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan skala dalam menyelesaikan masalah program keahlian.
Kegiatan inti
1. Disajikan gambar-gambar berskala.
Siswa dibimbing untuk mengingat kembali cara mendapatkan gambar model yang bentuknya seperti bentuk aslinya tetapi mempunyai ukuran lebih besar atau lebih kecil dari ukuran aslinya. (gambar yang di skala)
2. Siswa dibimbing untuk dapat sampai pada kesimpulan :
Skala = jarak pada peta/jarak sebenarnya
3. Siswa diberi tugas latihan soal secara kelompok, diskusi dan siswa menyampaikan hasilnya.
Penutup
1. Guru memberikan tugas (PR)
2. Guru mengakhiri pelajaran dengan salam.
Latihan Soal :
Sebuah peta dibuat sedemikian rupa sehingga setiap 3 cm mewakili 6 km.
a. tentukan skalanya
b. jika jarak 2 kota 80 km, berapakah jarak pada peta?
c. jika jarak pada peta 8 cm, berapakah jarak sebenarnya?
Tugas (PR) :
1. Skala pada peta tertulis 1 : 50.000 jika jarak antara 2 kota pada peta 35 cm, berapakah jarak sebenarnya kedua kota tersebut?
2. Skala sebuah denah gedung adalah 1 : 500, jika tanah untuk membuat gedung tersebut berbentuk persegi panjang, tentukan :
a. ukuran sebenarnya, jika pada denah berukuran 25,4 cm x 16 cm.
b. Luas tanah untuk membangun gedung tersebut.
Yogyakarta, 3 Maret 2008
Sukardi
(05301244071)
(RPP)
Sekolah : SMK
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XI (Sebelas) / 1
Jurusan/kelompok : Sosial, Administrasi Perkantoran, Akuntansi
Standar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan Konsep Operasi Bilangan Riil.
Kompetensi Dasar : 1. Menerapkan Operasi pada Bilangan Riil..
Indikator : 1. Konsep perbandingan (skala), yang digunakan dalam penyelesaian masalah program keahlian.
Alokasi Waktu : 20 menit.
A. Tujuan Pembelajaran
a. Siswa dapat menghitung skala perbandingan.
B. Materi Ajar
1. Perbandingan (skala)
C. Metode Pembelajaran
Tanya jawab, diskusi, penugasan.
D. Langkah-langkah kegiatan
Pendahuluan
Apersepsi : Siswa mengingat kembali konsep perbandingan.
Motivasi : Apabila materi ini telah dikuasai dengan baik maka akan dapat membantu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan dan skala.
Tujuan : Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan skala dalam menyelesaikan masalah program keahlian.
Kegiatan inti
1. Disajikan gambar-gambar berskala.
Siswa dibimbing untuk mengingat kembali cara mendapatkan gambar model yang bentuknya seperti bentuk aslinya tetapi mempunyai ukuran lebih besar atau lebih kecil dari ukuran aslinya. (gambar yang di skala)
2. Siswa dibimbing untuk dapat sampai pada kesimpulan :
Skala = jarak pada peta/jarak sebenarnya
3. Siswa diberi tugas latihan soal secara kelompok, diskusi dan siswa menyampaikan hasilnya.
Penutup
1. Guru memberikan tugas (PR)
2. Guru mengakhiri pelajaran dengan salam.
Latihan Soal :
Sebuah peta dibuat sedemikian rupa sehingga setiap 3 cm mewakili 6 km.
a. tentukan skalanya
b. jika jarak 2 kota 80 km, berapakah jarak pada peta?
c. jika jarak pada peta 8 cm, berapakah jarak sebenarnya?
Tugas (PR) :
1. Skala pada peta tertulis 1 : 50.000 jika jarak antara 2 kota pada peta 35 cm, berapakah jarak sebenarnya kedua kota tersebut?
2. Skala sebuah denah gedung adalah 1 : 500, jika tanah untuk membuat gedung tersebut berbentuk persegi panjang, tentukan :
a. ukuran sebenarnya, jika pada denah berukuran 25,4 cm x 16 cm.
b. Luas tanah untuk membangun gedung tersebut.
Yogyakarta, 3 Maret 2008
Sukardi
(05301244071)
d. sMenentukan persamaan sumbu simetri
e. Menentukan beberapa titik yang terletak pada parabola
f. Menghubungkan titik-titik tersebut dengan garis mulus
o Harga nol suatu fungsi adalah nilai x yang menyebabkan nilai f(x) = ….
III. Latihan
1. Tentukan sifat-sifat fungsi kuadrat pada persamaan berikut!
a. c.
b. d.
2. Diketahui persamaan fungsi kuadrat , dengan domainnya { x R}
a. Tentukan harga nol fungsi tersebut!
b. Tentukan persamaan sumbu simetrinya!
c. Tentukan titik ekstemnya!
3. Buatlah grafik fungsi kuadrat yang persamaannya:
a.
b.
c.
4. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik:
a. (0, -12), (6, 0), dan (-4, 0)
b. (3, 12), (-2, -3), dan (2, 5)
c. (-1, 0), (0, 5), dan (-5, 0)
5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai:
a. Titik puncak (-1, 16) dan melalui titik (3, 0)
b. Titik puncak ( ) dan melalui titik (0, -4)
6. Sebuah benda bergerak pada suatu ketinggian setelah t detik yang dinyatakan dengan persamaan .
a. Tentukan t jika benda pada ketinggian nol!
b. Tunjukkan bahwa h tidak melebihi 30!
LKS 4
1.4 Fungsi Ekonomi
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Suatu fungsi permintaan dinyatakan oleh D : Q = 30 – 6P.
a. Gambarkan grafiknya!
b. Berapa jumlah barang yang diminta jika harga barang Rp 4, 00 per unit?
c. Berapakah tingkat harga yang berlaku jika barang yang diminta 12 unit?
2. Diketahui suatu fungsi penawaran yang dinyatakan oleh S : Q = P – 5.
a. Buat gambar grafiknya!
b. Berapa unit barang yang ditawarkan pada tingkat harga Rp 17, 00?
c. Berapa tingkat harga yang berlaku jika jumlah barang yang ditawarkan adalah 7 unit?
3. Jika diketahui fungsi permintaan D : Q = -7 – 3P dan fungsi penawaran S : Q = - 5 – 1. Tentukan titik keseimbangan pasarnya!
4. Untuk memproduksi 1 kg gula dibutuhkan biaya variabel Rp 250, 00 dan biaya tetap 500, 00/hari.
a. Nyatakan biaya tersebut dalam bentuk persamaan!
b. Berapakah biaya yang harus dikeluarkan untuk memproduksi 50 kg kopi/hari?
5. Seorang produsen menjual salah satu produknya dengan harga Rp 20 000, 00/buah. Biaya tetap produksinya Rp 500 000, 00 dan biaya variabelnya 1500, 00.
a. Nyatakanlah biaya tersebut dalam bentuk persamaan!
b. Tentukanlah titik impasnya!
II. Kesimpulan
Fungsi permintaan bergantung pada hukum permuntaan, yaitu: “Jika harga ……., maka jumlah barang yang diminta akan …………… dan sebaliknya jika harga ………., maka jumlah barang yang diminta akan …………. “
Bentuk umum persamaan fungsi permintaan linear adalah: D : Q = …. - …. P, dengan Q adalah jumlah barang yang diminta dan P adalah harga barang per unit.
Fungsi penawaran bergantung pada hukum penawaran, yaitu: “Jika harga ……., maka jumlah barang yang ditawarkan akan …………… dan sebaliknya jika harga ………., maka jumlah barang yang ditawarkan akan …………. “
Bentuk umum persamaan fungsi penawaran linear adalah: D : Q = …. - …. P, dengan Q adalah jumlah barang yang ditawarkan dan P adalah harga barang per unit.
Jika terjadi kesepakatan antara produsen dan konsumen, produsen harus menetapkan jumlah barang dan harga barang tertentu, yang disebut titik ……………….…. (equilibrium)
Syarat terjdinya keseimbangan pasar adalah atau
Untuk memproduksi satu unit barang x diperlukan biaya sebesar a rupiah, maka biaya variabelnya , selain itu masih diperlukan biaya tetap sebesar b rupiah, maka biaya tetap Jadi, biaya total
Suatu kondisi dimana tidak untung dan tidak rugi, yaitu disebut …………………..
III. Latihan
1. Gambarkan macam-macam grafik fungsi permintaan!
2. Gambarkan macam-macam grafik fungsi penawaran!
3. Suatu fungsi permintaan linear yang dinyatakan oleh D : Q = 15 – 3P, Tentukan:
a. Gambar grafiknya!
b. Jumlah barang yang diminta pada tingkat harga Rp 7,00!
c. Jika banyaknya barang yang diminta 8 unit, berapakah tingkat harga yang berlaku?
4. Diketahui suatu fungsi penawaran S : P = Q + 1.
a. Buatlah gambar grafiknya!
b. Tentukan tingkat harga yang berlaku jika jumlah barang yang ditawarkan 15 unit!
c. Tentukan jumlah barang yang ditawarkan pada tingkat harga Rp 120,00.
5. Pada suatu produksi dibutuhkan biaya variable Rp 50 000,00 dan biaya tetap Rp 300 000,00.
a. Tuliskan persamaan biayanya!
b. Berapakah besar biaya pembuatan berjumlah 100 produk?
c. Buatlah grafiknya!
6. Biaya tetap untuk memproduksi sebuah buku adalah Rp 750 000,00 dan biaya variabelnya Rp 10 000,00/unit. Jika harga sebuah buku tiap unit Rp 15 000,00:
a. Tentukan titik pulang pokoknya!
b. Nyatakan biaya tersebut dalam persamaan!
LKS 5
1.5 Fungsi Eksponen
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Gambarkan grafik dari , !
Penyelesaian:
, ditentukan oleh titik-titik yang dilalui kurva. Yaitu dengan membuat tabel:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y …. …. …. …. …. …. ….
x, y ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
2. Jika diketahui k = 300 000 dan r = 2%. Berapakah nilai f(x), jika x = 5?
Penyelesaian:
f(x) = k (1 + r) f(….) = …. (1 + ….) f(….) = …. …. = ….
II. Kesimpulan
Bentuk umum fungsi eksponen yaitu : . Dengan x = ………., y = ………………, dan a = …………………
Jika dan , maka:
a. f.
b. g.
c. h.
d. i.
e.
III. Latihan
1. Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut!
a. c.
b. d.
2. jika , maka tentukanlah:
a. c.
b. d.
3. Diketahui k = 1000, r = 5%, dan x = 2. Carilah f(x) dengan rumus !
4. Jika di suatu desa terhitung jumlah penduduknya (k) = 550 000. pertambahan penduduk tiap tahun (r) = 10. berapa jumlah penduduk (x) setelah 2 tahun? (Gunakan rumus )
LKS 1
1.1 Pengukuran Sudut
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Macam-macam satuan sudut.
Pengukuran sudut yang dibahas pada sub bab ini adalah pengukuran sudut berdasarkan ukuran derajat dan ukuran radian.
Perhatikan Gambar berikut!
B Misalkan besar = 1 , maka
C panjang busur AB = keliling lingkaran
Jadi, 1 = putaran
Jika, 1 putaran penuh = 2 r = ,
Maka, putaran penuh = keliling =
Berdasarkan ukuran radian, satu radian sama dengan besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh …………..yang panjangnya sama dengan ………..
Panjang busur suatu lingkaran = 2 x r
2 r = 2 radian = sehingga ; radian =
2. Konversi satuan sudut.
Untuk lebih mudahnya dalam kita melakukan konversi, kita perlu mengetahui hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian sebuah sudut.
Dalam ukuran derajat ,
Q R A Dalam ukuran radian
= radian
Oleh karena = radian, maka kita memperoleh hubungan :
dan 1 radian =
II. Latihan
1. Jelaskan pengertian sudut dalam satuan derajat ( )!
2. Jelaskan pengertian sudut dalam satuan radian (1 rad)!
3. Nyatakanlah ukuran sudut berikut dalam satuan radian!
a. b. c. d.
4. Nyatakanlah ukuran sudut berikut dalam ukuran derajat!
a. 3 rad b. 4,5 rad c. rad d. rad
LKS 2
1.2 Pengukuran Keliling dan Luas
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Persegi
Tentukan keliling dan luas persegi yang mempunyai panjang sisi 8 cm!
Penyelesaian:
Keliling = 4 x …… = …… cm
Luas = …… x ……. = ……. cm
2. Persegi Panjang
Tentukan keliling dan luas persegi panjang dengan panjang 10 cm dan lebar 3,5 cm cm !
Penyelesaian:
Keliling = 2 (…… + …….) cm
= 2 (……) cm = ……. cm
Luas = …… x …….
= …… cm x …… cm = …….. cm
3. Segitiga
Hitunglah keliling dan luas suatu segitiga pada gambar berikut !
A Penyelesaian:
3,6 cm Keliling = …….+ ….. + ….. = ……. cm
B 5,3 cm C
Luas = (……. X ……..) = ……… cm
4. Trapesium
Hitunglah keliling dan luas trapesium ABCD dibawah !
A B AB = 7 cm, AE = 5 cm,
CE = 10 cm
Penyelesaian:
Keliling = …… + …… + …… + …… = ……. cm
Luas = …… (…… + ……)
= x …… x …… = ……. cm
5. Lingkaran
Tentukan Keliling dan luas suatu lingkaran yang mempunyai panjang diameter 98 cm !
Penyelesaian:
Keliling = 2 x x …… = 2 x ……. x …….. = …….. cm
Luas = …… = …….. x …….
= ……. x ……. x ……. = ……... cm
II. Kesimpulan
1. Persegi
Jika diketahui panjang sisi persegi adalah s cm, maka;
Keliling persegi = 4 x …… = …….
Luas persegi = …… x …… = …….
2. Persegi Panjang
Jika p = panjang dan l = lebar, maka;
Keliling = 2 (…… + ……)
Luas = ……. x …….
3. Segitiga
Jika sisi-sisi segitiga adalah a, b, dan c, maka;
Keliling segitiga tersebut adalah = …… + …… + ……
Luas daerah = …… x ……
4. Trapesium
Pada trapesium yang sisi-sisinya AB, BC, CD, dan DA, diperoleh;
Keliling = …… + …… + …… + ……
Luas = x ….. (…… + ……)
5. Lingkaran
Suatu lingkaran dengan pusat (o) dan jari-jari (r), maka;
Keliling lingkaran = 2 ….. x ……
Luas lingkaran = ……. x ……
III. Latihan
1. Diketahui sebuah bidang tanah yang berbentuk persegi dengan luas 15625 . Jika tanah tersebut akan dipasang pagar dengan biaya pemagaran Rp 10.000,00 per meter. Berapa biaya pemagaran yang diperlukan untuk pemagaran tersebut!
2. Sebuah persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebar 3 : 2. jika luas persegi panjang tersebut 216 , tentukanlah:
a. panjang dan lebar persegi panjang tersebut!
b. Keliling persegi panjang!
3. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari 14 cm. besar sudut AOB adalah . Hitunglah;
a. keliling dan luas lingkaran
b. panjang busur AB
c. luas juring AOB
4. Sebuah lingkaran dengan diameter 28 m. Pada lingkaran tersebut terdapat sebuah juring dengan sudut 30 :
a. Tentukanlah panjang busur juring tersebut!
b. Hitung luas juringnya!
5. Jika biaya per meter adalah Rp 5000,00, maka biaya yang dikeluarkan untuk membuat pagar sebuah pekarangan persegi panjang , dengan luas 4500 m dan panjangnya 75 m adalah ?
LKS 3
1.3 Transformasi Bangun Datar
I. Selesaikanlah soal-soal berikut!
1. Tentukan bayangan titik T (2, -3), oleh translasi .
2. Tentukan bayangan titik P (4, 1) jika dicerminkan terhadap:
a. Sumbu x e. pangkal koordinat
b. Sumbu y f. titik (5, -2)
c. Garis x = 3 g. garis y = x
d. Garis y = -4 h. garis y = - x
3. Tentukan bayangan titik A (-2, 5) jika diputar terhadap:
a. Pangkal koordinat sejauh -90
b. Pangkal koordinat sejauh 180
c. Titik R(0, 2) sejauh 90
d. Titik B(-2, 3) sejauh -270
4. Tentukan bayangan titik M (-2, 4) oleh dilatasi sebagai berikut:
a. [O, 5] b. [P, 3], jika P (1, -2)
II. Kesimpulan
1. Jenis-jenis transformasi bangun datar.
o Translasi (pergeseran)
Translasi adalah perpindahan titik-titik pada bidang dengan …… dan …….. tertentu. Jarak dan arah dapat diwakili oleh ruas garis berarah atau oleh suatu bilangan berurutan . Translasi oleh artinya suatu titik digeser a langkah ke …… dan b langkah ke ….., translasi oleh artinya suatu titik digeser a langkah ke …... dan b langkah ke ………..
o Refleksi (pencerminan)
Refleksi dapat ditentukan oleh sebuah garis yang disebut sumbu ……..., yaitu jarak antara titik pada benda terhadap sumbu simetri sama dengan jarak titik pada bayangan terhadap sumbu simetri.
Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x, maka A’ (…, -…)
b. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu y, maka A’ (-…, …)
c. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis x = h, maka A’ (2h-…, …)
d. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = h, maka A’ (…, 2h-…)
e. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap O (0,0), maka A’ (-…, -…)
f. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap titik (x,y), maka A’(2x-…, 2y-...)
g. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = x, maka A’ (…, …)
h. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = -x, maka A’ (-…, -…)
o Rotasi (perputaran)
Perputaran ditentukan oleh pusat, …… sudut, dan ……. sudut. Arah positif adalah perputaran yang …………… dengan arah jarum jam, sedangkan arah negatif adalah perputaran yang …………. dengan arah jarum jam.
Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka A’ (-…, …)
b. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka A’ (-…, -…)
c. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka A’ (…, -…)
d. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka
A’ (…, …)
e. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka
A’ (-… + c + d, … – c + d)
f. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka
A’ (2c – …, 2d - …)
g. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka
A’ (… + c – d, … + c +d)
h. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka A’ (…, …)
o Dilatasi (perkalian)
Suatu dilatasi ditentukan oleh ………… dan ………….. Untuk perkalian yang berpusat di O (0,0) dengan faktor skala k dilambangkan dengan [O, k], sedangkan untuk perkalian yang berpusat di P (c, d) dengan faktor skala k dilambangkan dengan [P, k].
Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Jika A (a, b) [O, k], maka A’ =
b. Jika A (a, b) [P, k], A’ =
III. Latihan
1. Tentukan bayangan dari segitiga PQR dengan P (3, -2), Q (5, 4), dan
R (7,-3) jika ditranslasikan oleh !
2. Tentukan bayangan dari sebuah persegi ABCD dengan A (1, 3), B (4, 3), C (4, 0) dan D (1, 0) jika dicerminkan terhadap:
a. Sumbu x e. Pangkal koordinat
b. Sumbu y f. Titik (0, -1)
c. Garis x = 5 g. Garis y = x
d. Garis y = -1 h. Garis y = -x
3. Tentukan bayangan dari suatu segitiga ABC dengan A (-5, 3), B (-3, 6), dan C (-2, 2) jika diputar dengan pusat ;
a. O (0,0), sejauh c. pangkal koordinat, sejauh -90
b. titik C, sejauh d. titik A, sejauh 270
4. Tentukan bayangan dari sebuah persegi panjang KLMN dengan K (-3, 1), L (2, 1), M (2, 3), dan N (-3, 3) jika di dilatasi oleh:
a. [O, 3] b. [P, 2] dengan P (2, 0)
LKS 1
1.1 Bangun Ruang dan Unsur-unsurnya
I. Lengkapilah pernyataan berikut!
1. unsur-unsur bangun ruang
a. Balok
Sebuah balok ABCD.EFGH memiliki beberapa unsur yaitu :
Mempunyai 6 buah sisi, yaitu ……, ……., ………, …….., ……..., dan …….. Masing-masing berbentuk ………...
Mempunyai 12 buah rusuk, yaitu ….., ….., …., …., …., …., …., …., …., …., …., dan …..
Mempunyai 12 diagonal sisi, yaitu …., …., …., …., …., …., …., …., …., …., …., dan …..
Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu …., …., …., dan …..
b. Kubus
Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki beberapa unsur yaitu :
Mempunyai …. buah sisi yang berbentuk ……. yang semuanya kongruen.
Mempunyai …… rusuk yang semuanya sama panjang.
Mempunyai …... diagonal sisi yang sama panjang.
Mempunyai …… buah diagonal ruang yang sama panjang.
c. Prisma
Ada beberapa macam bentuk prisma diantaranya adalah:
Prisma ………….
Prisma ………….
d. Limas
Berdasarkan bidang alasnya, terdapat beberapa macam limas antara lain:
Limas …………..
Limas …………..
Limas …………..
e. Kerucut
Diketahui sebuah kerucut yang alasnya berbentuk lingkaran. ….. dan ….. merupakan garis pelukis (apotema). ….. sebagai pusat lingkaran dengan jari-jari …... Sebagai tinggi kerucut adalah ….. dan titik ….. sebagai puncak kerucut.
f. Tabung
Unsur-unsur tabung antara lain:
Mempunyai …. buah sisi, dua sisi diantaranya berbentuk ……...dan satu lainnya berbentuk bidang ……….
Garis TM = S merupakan garis ……… tabung.
Setiap garis pada bidang lengkung yang sejajar dengan sumbu S disebut garis ………… (misalnya AD, BC, dan PQ)
g. Bola
Suatu bola dapat dibentuk dengan memutar …… bangun setengah lingkaran dengan sumbu putar …………….
Pada sebuah bola, titik M sebagai …… bola, MA = MB = r = …….. dan AB = ………… bola.
2. Gambarkan jaring-jaring bangun ruang dibawah!
1) Jaring-jaring kubus
2) Jaring-jaring bidang empat beraturan
3) Jaring-jaring limas
4) Jaring-jaring tabung
5) Jaring-jaring kerucut
II. Latihan
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan:
a. Panjang diagonal bidang
b. Panjang diagonal ruang
c. Luas bidang diagonal BDHF
2. Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran panjang 80 mm, lebar 60 mm, dan tinggi 30 mm. Tentukan:
a. Panjang diagonal sisi BD dan panjang diagonal ruang EC
b. Luas bidang diagonal ACGE
LKS 2
1.2 Luas Permukaan Bangun Ruang
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Sebuah balok berukuran panjang 10 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 6, 5 cm. Tentukan luas permukaannya!
2. Tentukan luas seluruh permukaan sebuah balok yang mempunyai panjang 0, 8 m, lebar 0, 4 m, dan tinggi 0, 6 m!
3. Hitunglah luas permukaan sebuah limas persegi dengan panjang sisi alas 10 cm dan tingginya 12 cm!
4. Jika diketahui sebuah prisma dengan alas segitiga sama sisi ( ABC, AB = BC = AC = 0,4 m) dan tingginya 0, 5 m. Hitunglah luas permukaan prisma tersebut!
5. Hitunglah luas permukaan sebuah silinder tertutup yang memiliki diameter 70 cm, dan panjang silinder 120 cm!
6. Tentukan luas permukaan sebuah kerucut yang memiliki diameter alas 25 mm dan tinggi 33 mm!
7. Diketahui diameter sebuah bola adalah 0, 7 m. Berapakah luas permukaan bola tersebut!
II. Kesimpulan
1) Balok
Jika L = luas permukaan benda, p = panjang, l = lebar, dan t = tinggi, maka:
L = 2 ( )
2) Kubus
Jika s adalah rusuk kubus, maka: Luas permukaan =
3) Prisma segitiga dan prisma segilima
Jika K = keliling alas, t = tinggi prisma, dan La = luas alas, maka:
Luas permukaan =
4) Tabung
Jika Ls = luas selimut, Lp = luas seluruh permukaan, r = jari-jari, t = tinggi tabung, maka: Ls = dan Lp =
5) Limas
Lp = Luas alas + Luas selimut
Luas alas = AB BC T
Luas selimut = …. Luas TBC
Luas TBC = BC TE A B
6) Kerucut
Jika Ls = luas selimut, Lp = luas seluruh permukaan, r = jari-jari, t = tinggi kerucut dan s = panjang garis pelukis (sisi miring pada segitiga siku-siku), maka:
Ls = dan Lp =
7) Bola
Jika L = Luas permukaan bola, dan r = jari-jari bola, maka:
L =
III. Latihan
1. Sebuah bak air berbentuk prisma persegi panjang dengan panjang 300 cm, lebar 80 cm dan tinggi 60 cm. Tentukan luas permukaan bak tersebut!
2. Tentukan luas permukaan pipa tertutup dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 21 cm!
3. Tentukan luas permukaan bola yang berdiameter 40 cm!
4. Sebuah piramide limas mempunyai panjang sisi alas 10 cm dan tinggi 12 cm. Tentukan luas permukaannya!
LKS 3
1.3 Volume Bangun Ruang
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Sebuah balok berukuran panjang 10 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 6, 5 cm. Tentukan volumenya!
2. Tentukan volume sebuah balok yang mempunyai panjang 0, 8 m, lebar 0, 4 m, dan tinggi 0, 6 m!
3. Hitunglah volume sebuah limas persegi dengan panjang sisi alas 10 cm dan tingginya 12 cm!
4. Jika diketahui sebuah prisma dengan alas segitiga sama sisi ( ABC, AB = BC = AC = 0,4 m) dan tingginya 0, 5 m. Hitunglah volume prisma tersebut!
5. Hitunglah volume sebuah silinder tertutup yang memiliki diameter 70 cm, dan panjang silinder 120 cm!
6. Tentukan volume sebuah kerucut yang memiliki diameter alas 25 mm dan tinggi 33 mm!
7. Diketahui diameter sebuah bola adalah 0, 7 m. Berapakah volume bola tersebut!
II. Kesimpulan
a. Volume Balok
Jika sebuah balok berukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t
maka : V =
b. Volume Kubus
Jika sebuah kubus dengan panjang rusuk a, maka volume kubus (V) adalah: V =
c. Volume Prisma
Sebuah prisma mempunyai rumus volume: V = …….. … ……………..
d. Volume Limas
Volume sebuah limas ditentukan oleh rumus: V = ………... …….
e. Volume Kerucut
Jika sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r dan tinggi kerucut t, maka: V = … ….
f. Volume Tabung
Jika suatu tabung dengan jari-jari lingkaran alas r dan tinggi tabung adalah t, maka volumenya: V = …. ….
g. Volume Bola
Volume suatu bola dengan jari-jari r adalah:
III. Latihan
1. Sebuah tangki prisma persegi panjang memiliki panjang 3 m, lebar 80 cm, dan tingginya 60 cm. Tentukan volume tangki tersebut!
2. Sebuah tabung dengan diameter 21 cm dan tinggi 35 cm. Tentukan volume maksimum tabung tersebut!
3. Tentukan volume limas persegi dengan panjang sisi alas 15 cm dan tingginya 20 cm!
4. Tentukan volume kerucut dengan diameter 14 m dan tingginya 24 m!
5. Tentukan volume bola yang berdiameter 25 cm!
LKS 4
1.4 Hubungan antar Unsur dalam Bangun Ruang
I. Selesaikan pernyataan berikut!
1. Proyeksi sebuah titik pada sebuah garis
Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan
menarik garis tegak lurus dari titik P ke garis g. Perpotongan garis P
tegak lurus dari titik P dengan garis g yaitu titik P’. P
Keterangan:
P = ..........
P’ = ............
PP’ = ........... P’
G = ............
2. Proyeksi titik pada bidang P
Keterangan:
P = ...............
.....= titik hasil proyeksi H
PP’ = ...............................
H = ...............................
PP’ tegak lurus pada bidang H
3. Hubungan antara garis dengan garis
Hubungan dua buah garis dapat berupa:
a. Dua buah garis ..............., adalah dua garis yang terletak dalam satu bidang yang memiliki arah yang sama.
b. Dua garis ....................., adalah dua garis yang terletak dalam satu bidang yang bertemu di satu titik.
c. Dua garis ......................, adalah dua garis yang terletak pada bidang yang berbeda dan jika diproyeksikan salah satu diantaranya akan bertemu di satu titik.
4. Proyeksi garis pada bidang
Keterangan: B g
...... = bidang yang menerima proyeksi A
g = ............................
AA’ dan BB’ = ........................... A’ B’ g’
A’B’ = ......................... H
ABB’A’ = ........................
5. Sudut antara garis dan bidang g
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang
dibentuk oleh .............. dengan .................. pada
bidang H. H
6. Sudut antara dua bidang H G
Sudut antara dua bidang yang berpotongan E F
adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis
yang .................. serta masing-masing garis itu C D
tegak lurus terhadap garis potong antara A B
bidang …….. dan bidang BDG.
Sudut antara bidang ABCD dan bidang BDG adalah sudut ...........
Garis OG mewakili bidang .......... dan garis ....... mewakili bidang ABC.
II. Latihan soal
1. Diketahui limas T.ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang, AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Hitunglah!
a. Panjang AC
b. Jarak titik T ke bidang ABCD
c. Panjang proyeksi garis AT ke bidang ABCD
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.
Hitunglah jarak titik C ke bidang BDG!
3. Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH dengan panjang 24 cm, lebar 18 cm, dan tinggi 14 cm. Tntukanlah panjang proyeksi garis:
a. DF pada bidang EFGH
b. DE pada bidang ABFE
c. CF pada bidang ADHE
4. Diketahui suatu kubus dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan besar sudut antara:
a. Garis BG dan garis CH c. Garis AH dan garis CG
b. Garis AF dan garis CD d. Garis BF dan garis EG
5. Tentukanlah besar sudut antara bidang KMQO dan bidang LNRP pada sebuah kubus dengan panjang diagonal ruang !
LKS 1
1.1 Peluang
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Sebuah dadu mata enam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil?
Penyelesaian:
Ruang sampel S = {……………..}, maka n(S) = ……
Kejadian A = {……………….}, maka n(A) = ……
Jadi, P(A) =
2. Berapakah frekuensi harapan muncul mata kurang dari 4 dalam pelantunan dadu mata enam sebanyak 50 kali?
Penyelesaian:
A = {…………….}, maka n(A) = …..
S = {……………..}, maka n(s) = …..
P(A) =
Fh(A) = kali
3. Sebuah dadu mata enam dilemparkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 4 atau kurang dari 3?
Penyelesaian:
S = {……………..}, maka n(S) = …….
A = { 4 }, maka n(A) = …..
B = {………}, maka n(B) = …... , dengan A B =
P (A B) = P(….) + P(….) =
4. Dalam sebuah tas terdapat 8 bola yang terdiri atas 6 bola merah dan 2 bola biru. Jika diambil dua bola, berapakah peluang terambilnya kedua-duanya merah?
Penyelesaian:
n(S) = 8, n(A) = 6, n(B) = 2
Peluang bola merah pada pengambilan pertama, P(A ) =
Peluang bola merah pada pengambilan kedua, P(A ) =
Jadi, P(A B) = P(A) P(B) = =
II. Kesimpulan
o Setiap proses yang menghasilkan suatu kejadian disebut ………. sedangkan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ………………
o Jika A adalah suatu kejadian munculnya suatu percobaan, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan P(A) =
o Frekuensi harapan suatu kejadian pada suatu percobaan A , dinyatakan dengan Fh(A) = P(….) ….
o Himpunan A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas, jika A B = , maka P (A B) = P(….) + P(….)
o Jika A dan B merupakandua kejadian yang saling bebas, maka peluang peluang kejadian A dan B adalah P (A dan B) = P(…) P(….)
III. Latihan
1. Sebuah dadu mata enam dilemparkan satu kali. Berapa peluang munculnya:
a. mata dadu 3
b. mata dadu prima
c. mata dadu kurang dari 4
2. Dalam pelantunan dua mata uang logam bersama-sama sebanyak 150 kali. Berapa kali harapan munculnya:
a. dua gambar
b. dua angka
c. paling sedikit satu angka
3. Dari setumpuk kartu bridge (52 lembar) diambil acak, berapakah peluang terambilnya:
a. kartu bernomor 4 atau bernomor 8
b. kartu As atau kartu King
4. Dua keping mata uang logam dilempar sekali secara bersamaan. Berapakah peluang munculnya:
a. satu gambar atau satu angka
b. dua gambar atau dua angka
5. Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu mata enam dilemparkan bersama-sama. Tentukan peluang munculnya angka dan mata dadu 2!
6. a dan b adalah dua kejadian yang saling bebas. Jika P(a) = 0,6 dan P(b) = 0,3. Tentukan peluang kejadian a dan b!
LKS 2
1.2 Permutasi dan Kombinasi
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Hitunglah hasil dari:
a. 5! b. 6!
Penyelesaian:
a. 5! = … … … … … = …
b. 6! = … … … … … … = …
2. Dari 3 orang yaitu A, B dan C akan dipilih seorang ketua dan wakilnya. berapa alternatif yang didapat?
3. Terdapat 3 orang yang duduk melingkar di sebuah meja bundar. Berapa cara urutan siklik yang mungkin terjadi?
Penyelesaian:
(…. - 1) ! = … … = …. cara
4. Berapakah banyaknya susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari kata “BAFANA”?
Penyelesaian:
P =
5. Drai sekelompok orang yang berjumlah 5 orang, akan diambil 3 orang diantaranya. Berapa cara susunan orang yang mungkin?
Penyelesaian:
C cara
II. Kesimpulan
o Secara umum, faktorial dapat dituliskan sebagai:
n ! = …. (…- 1) (…- 2) … 3 2 1
o Banyaknya permutasi k unsur dari n unsur yang berbeda, secara umum ditulis sebagai P
o Pemutasi siklik adalah permutasi yang objeknya disusun dalam bentuk ………….
Secara umum dirumuskan sebagai P
o Jika dari n unsur, ada a unsur sama, b unsur sama dan seterusnya, maka banyaknya permutasi dari n unsur seluruhnya adalah :
P =
o Secara umum, banyak kombinasi k unsur yang berbeda dari n unsur yang ada dirumuskan sebagai: C
III. Latihan
1. Hitunglah!
a. P c. C
b. P d. C
2. Pada sebuah organisasi terdapat 8 calon pengurus. Dari 8 calon tersebut akan dipilih 3 orang, masing-masing sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara.
a. Tentukan banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk membentuk pengurus tersebut!
b. Jika 1 orang dari 8 calon tersebut langsung ditetapkan sebagai bendahara, berapakah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk membentuk pengurus tersebut!
3. Sekelompok orang berjumlah 5 orang akan memasuki sebuah ruangan yang telah tersedia 8 kursi yang disusun berjajar.
a. Barapa carakah sekelompok orang tersebut menduduki kursi yang tersedia?
b. Jika 2 orang dari 5 orang itu harus duduk berdampingan, berapa cara yang dapat terjadi?
4. Terdapat 25 pemain bola, akan dibentuk tim inti sejumlah 11 pemain.
a. Berapa cara tim inti itu dapat terbentuk?
b. Jika 5 pemain sudah pasti masuk tim inti, maka berapa cara untuk membentuk tim inti tersebut?
e. Menentukan beberapa titik yang terletak pada parabola
f. Menghubungkan titik-titik tersebut dengan garis mulus
o Harga nol suatu fungsi adalah nilai x yang menyebabkan nilai f(x) = ….
III. Latihan
1. Tentukan sifat-sifat fungsi kuadrat pada persamaan berikut!
a. c.
b. d.
2. Diketahui persamaan fungsi kuadrat , dengan domainnya { x R}
a. Tentukan harga nol fungsi tersebut!
b. Tentukan persamaan sumbu simetrinya!
c. Tentukan titik ekstemnya!
3. Buatlah grafik fungsi kuadrat yang persamaannya:
a.
b.
c.
4. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik:
a. (0, -12), (6, 0), dan (-4, 0)
b. (3, 12), (-2, -3), dan (2, 5)
c. (-1, 0), (0, 5), dan (-5, 0)
5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai:
a. Titik puncak (-1, 16) dan melalui titik (3, 0)
b. Titik puncak ( ) dan melalui titik (0, -4)
6. Sebuah benda bergerak pada suatu ketinggian setelah t detik yang dinyatakan dengan persamaan .
a. Tentukan t jika benda pada ketinggian nol!
b. Tunjukkan bahwa h tidak melebihi 30!
LKS 4
1.4 Fungsi Ekonomi
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Suatu fungsi permintaan dinyatakan oleh D : Q = 30 – 6P.
a. Gambarkan grafiknya!
b. Berapa jumlah barang yang diminta jika harga barang Rp 4, 00 per unit?
c. Berapakah tingkat harga yang berlaku jika barang yang diminta 12 unit?
2. Diketahui suatu fungsi penawaran yang dinyatakan oleh S : Q = P – 5.
a. Buat gambar grafiknya!
b. Berapa unit barang yang ditawarkan pada tingkat harga Rp 17, 00?
c. Berapa tingkat harga yang berlaku jika jumlah barang yang ditawarkan adalah 7 unit?
3. Jika diketahui fungsi permintaan D : Q = -7 – 3P dan fungsi penawaran S : Q = - 5 – 1. Tentukan titik keseimbangan pasarnya!
4. Untuk memproduksi 1 kg gula dibutuhkan biaya variabel Rp 250, 00 dan biaya tetap 500, 00/hari.
a. Nyatakan biaya tersebut dalam bentuk persamaan!
b. Berapakah biaya yang harus dikeluarkan untuk memproduksi 50 kg kopi/hari?
5. Seorang produsen menjual salah satu produknya dengan harga Rp 20 000, 00/buah. Biaya tetap produksinya Rp 500 000, 00 dan biaya variabelnya 1500, 00.
a. Nyatakanlah biaya tersebut dalam bentuk persamaan!
b. Tentukanlah titik impasnya!
II. Kesimpulan
Fungsi permintaan bergantung pada hukum permuntaan, yaitu: “Jika harga ……., maka jumlah barang yang diminta akan …………… dan sebaliknya jika harga ………., maka jumlah barang yang diminta akan …………. “
Bentuk umum persamaan fungsi permintaan linear adalah: D : Q = …. - …. P, dengan Q adalah jumlah barang yang diminta dan P adalah harga barang per unit.
Fungsi penawaran bergantung pada hukum penawaran, yaitu: “Jika harga ……., maka jumlah barang yang ditawarkan akan …………… dan sebaliknya jika harga ………., maka jumlah barang yang ditawarkan akan …………. “
Bentuk umum persamaan fungsi penawaran linear adalah: D : Q = …. - …. P, dengan Q adalah jumlah barang yang ditawarkan dan P adalah harga barang per unit.
Jika terjadi kesepakatan antara produsen dan konsumen, produsen harus menetapkan jumlah barang dan harga barang tertentu, yang disebut titik ……………….…. (equilibrium)
Syarat terjdinya keseimbangan pasar adalah atau
Untuk memproduksi satu unit barang x diperlukan biaya sebesar a rupiah, maka biaya variabelnya , selain itu masih diperlukan biaya tetap sebesar b rupiah, maka biaya tetap Jadi, biaya total
Suatu kondisi dimana tidak untung dan tidak rugi, yaitu disebut …………………..
III. Latihan
1. Gambarkan macam-macam grafik fungsi permintaan!
2. Gambarkan macam-macam grafik fungsi penawaran!
3. Suatu fungsi permintaan linear yang dinyatakan oleh D : Q = 15 – 3P, Tentukan:
a. Gambar grafiknya!
b. Jumlah barang yang diminta pada tingkat harga Rp 7,00!
c. Jika banyaknya barang yang diminta 8 unit, berapakah tingkat harga yang berlaku?
4. Diketahui suatu fungsi penawaran S : P = Q + 1.
a. Buatlah gambar grafiknya!
b. Tentukan tingkat harga yang berlaku jika jumlah barang yang ditawarkan 15 unit!
c. Tentukan jumlah barang yang ditawarkan pada tingkat harga Rp 120,00.
5. Pada suatu produksi dibutuhkan biaya variable Rp 50 000,00 dan biaya tetap Rp 300 000,00.
a. Tuliskan persamaan biayanya!
b. Berapakah besar biaya pembuatan berjumlah 100 produk?
c. Buatlah grafiknya!
6. Biaya tetap untuk memproduksi sebuah buku adalah Rp 750 000,00 dan biaya variabelnya Rp 10 000,00/unit. Jika harga sebuah buku tiap unit Rp 15 000,00:
a. Tentukan titik pulang pokoknya!
b. Nyatakan biaya tersebut dalam persamaan!
LKS 5
1.5 Fungsi Eksponen
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Gambarkan grafik dari , !
Penyelesaian:
, ditentukan oleh titik-titik yang dilalui kurva. Yaitu dengan membuat tabel:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y …. …. …. …. …. …. ….
x, y ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
2. Jika diketahui k = 300 000 dan r = 2%. Berapakah nilai f(x), jika x = 5?
Penyelesaian:
f(x) = k (1 + r) f(….) = …. (1 + ….) f(….) = …. …. = ….
II. Kesimpulan
Bentuk umum fungsi eksponen yaitu : . Dengan x = ………., y = ………………, dan a = …………………
Jika dan , maka:
a. f.
b. g.
c. h.
d. i.
e.
III. Latihan
1. Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut!
a. c.
b. d.
2. jika , maka tentukanlah:
a. c.
b. d.
3. Diketahui k = 1000, r = 5%, dan x = 2. Carilah f(x) dengan rumus !
4. Jika di suatu desa terhitung jumlah penduduknya (k) = 550 000. pertambahan penduduk tiap tahun (r) = 10. berapa jumlah penduduk (x) setelah 2 tahun? (Gunakan rumus )
LKS 1
1.1 Pengukuran Sudut
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Macam-macam satuan sudut.
Pengukuran sudut yang dibahas pada sub bab ini adalah pengukuran sudut berdasarkan ukuran derajat dan ukuran radian.
Perhatikan Gambar berikut!
B Misalkan besar = 1 , maka
C panjang busur AB = keliling lingkaran
Jadi, 1 = putaran
Jika, 1 putaran penuh = 2 r = ,
Maka, putaran penuh = keliling =
Berdasarkan ukuran radian, satu radian sama dengan besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh …………..yang panjangnya sama dengan ………..
Panjang busur suatu lingkaran = 2 x r
2 r = 2 radian = sehingga ; radian =
2. Konversi satuan sudut.
Untuk lebih mudahnya dalam kita melakukan konversi, kita perlu mengetahui hubungan ukuran derajat dengan ukuran radian sebuah sudut.
Dalam ukuran derajat ,
Q R A Dalam ukuran radian
= radian
Oleh karena = radian, maka kita memperoleh hubungan :
dan 1 radian =
II. Latihan
1. Jelaskan pengertian sudut dalam satuan derajat ( )!
2. Jelaskan pengertian sudut dalam satuan radian (1 rad)!
3. Nyatakanlah ukuran sudut berikut dalam satuan radian!
a. b. c. d.
4. Nyatakanlah ukuran sudut berikut dalam ukuran derajat!
a. 3 rad b. 4,5 rad c. rad d. rad
LKS 2
1.2 Pengukuran Keliling dan Luas
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Persegi
Tentukan keliling dan luas persegi yang mempunyai panjang sisi 8 cm!
Penyelesaian:
Keliling = 4 x …… = …… cm
Luas = …… x ……. = ……. cm
2. Persegi Panjang
Tentukan keliling dan luas persegi panjang dengan panjang 10 cm dan lebar 3,5 cm cm !
Penyelesaian:
Keliling = 2 (…… + …….) cm
= 2 (……) cm = ……. cm
Luas = …… x …….
= …… cm x …… cm = …….. cm
3. Segitiga
Hitunglah keliling dan luas suatu segitiga pada gambar berikut !
A Penyelesaian:
3,6 cm Keliling = …….+ ….. + ….. = ……. cm
B 5,3 cm C
Luas = (……. X ……..) = ……… cm
4. Trapesium
Hitunglah keliling dan luas trapesium ABCD dibawah !
A B AB = 7 cm, AE = 5 cm,
CE = 10 cm
Penyelesaian:
Keliling = …… + …… + …… + …… = ……. cm
Luas = …… (…… + ……)
= x …… x …… = ……. cm
5. Lingkaran
Tentukan Keliling dan luas suatu lingkaran yang mempunyai panjang diameter 98 cm !
Penyelesaian:
Keliling = 2 x x …… = 2 x ……. x …….. = …….. cm
Luas = …… = …….. x …….
= ……. x ……. x ……. = ……... cm
II. Kesimpulan
1. Persegi
Jika diketahui panjang sisi persegi adalah s cm, maka;
Keliling persegi = 4 x …… = …….
Luas persegi = …… x …… = …….
2. Persegi Panjang
Jika p = panjang dan l = lebar, maka;
Keliling = 2 (…… + ……)
Luas = ……. x …….
3. Segitiga
Jika sisi-sisi segitiga adalah a, b, dan c, maka;
Keliling segitiga tersebut adalah = …… + …… + ……
Luas daerah = …… x ……
4. Trapesium
Pada trapesium yang sisi-sisinya AB, BC, CD, dan DA, diperoleh;
Keliling = …… + …… + …… + ……
Luas = x ….. (…… + ……)
5. Lingkaran
Suatu lingkaran dengan pusat (o) dan jari-jari (r), maka;
Keliling lingkaran = 2 ….. x ……
Luas lingkaran = ……. x ……
III. Latihan
1. Diketahui sebuah bidang tanah yang berbentuk persegi dengan luas 15625 . Jika tanah tersebut akan dipasang pagar dengan biaya pemagaran Rp 10.000,00 per meter. Berapa biaya pemagaran yang diperlukan untuk pemagaran tersebut!
2. Sebuah persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebar 3 : 2. jika luas persegi panjang tersebut 216 , tentukanlah:
a. panjang dan lebar persegi panjang tersebut!
b. Keliling persegi panjang!
3. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari 14 cm. besar sudut AOB adalah . Hitunglah;
a. keliling dan luas lingkaran
b. panjang busur AB
c. luas juring AOB
4. Sebuah lingkaran dengan diameter 28 m. Pada lingkaran tersebut terdapat sebuah juring dengan sudut 30 :
a. Tentukanlah panjang busur juring tersebut!
b. Hitung luas juringnya!
5. Jika biaya per meter adalah Rp 5000,00, maka biaya yang dikeluarkan untuk membuat pagar sebuah pekarangan persegi panjang , dengan luas 4500 m dan panjangnya 75 m adalah ?
LKS 3
1.3 Transformasi Bangun Datar
I. Selesaikanlah soal-soal berikut!
1. Tentukan bayangan titik T (2, -3), oleh translasi .
2. Tentukan bayangan titik P (4, 1) jika dicerminkan terhadap:
a. Sumbu x e. pangkal koordinat
b. Sumbu y f. titik (5, -2)
c. Garis x = 3 g. garis y = x
d. Garis y = -4 h. garis y = - x
3. Tentukan bayangan titik A (-2, 5) jika diputar terhadap:
a. Pangkal koordinat sejauh -90
b. Pangkal koordinat sejauh 180
c. Titik R(0, 2) sejauh 90
d. Titik B(-2, 3) sejauh -270
4. Tentukan bayangan titik M (-2, 4) oleh dilatasi sebagai berikut:
a. [O, 5] b. [P, 3], jika P (1, -2)
II. Kesimpulan
1. Jenis-jenis transformasi bangun datar.
o Translasi (pergeseran)
Translasi adalah perpindahan titik-titik pada bidang dengan …… dan …….. tertentu. Jarak dan arah dapat diwakili oleh ruas garis berarah atau oleh suatu bilangan berurutan . Translasi oleh artinya suatu titik digeser a langkah ke …… dan b langkah ke ….., translasi oleh artinya suatu titik digeser a langkah ke …... dan b langkah ke ………..
o Refleksi (pencerminan)
Refleksi dapat ditentukan oleh sebuah garis yang disebut sumbu ……..., yaitu jarak antara titik pada benda terhadap sumbu simetri sama dengan jarak titik pada bayangan terhadap sumbu simetri.
Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x, maka A’ (…, -…)
b. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu y, maka A’ (-…, …)
c. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis x = h, maka A’ (2h-…, …)
d. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = h, maka A’ (…, 2h-…)
e. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap O (0,0), maka A’ (-…, -…)
f. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap titik (x,y), maka A’(2x-…, 2y-...)
g. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = x, maka A’ (…, …)
h. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = -x, maka A’ (-…, -…)
o Rotasi (perputaran)
Perputaran ditentukan oleh pusat, …… sudut, dan ……. sudut. Arah positif adalah perputaran yang …………… dengan arah jarum jam, sedangkan arah negatif adalah perputaran yang …………. dengan arah jarum jam.
Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka A’ (-…, …)
b. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka A’ (-…, -…)
c. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka A’ (…, -…)
d. Jika A(a,b) diputar pada pusat O (0,0) sejauh atau , maka
A’ (…, …)
e. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka
A’ (-… + c + d, … – c + d)
f. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka
A’ (2c – …, 2d - …)
g. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka
A’ (… + c – d, … + c +d)
h. Jika A(a,b) diputar pada pusat P (c,d) sejauh , maka A’ (…, …)
o Dilatasi (perkalian)
Suatu dilatasi ditentukan oleh ………… dan ………….. Untuk perkalian yang berpusat di O (0,0) dengan faktor skala k dilambangkan dengan [O, k], sedangkan untuk perkalian yang berpusat di P (c, d) dengan faktor skala k dilambangkan dengan [P, k].
Secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. Jika A (a, b) [O, k], maka A’ =
b. Jika A (a, b) [P, k], A’ =
III. Latihan
1. Tentukan bayangan dari segitiga PQR dengan P (3, -2), Q (5, 4), dan
R (7,-3) jika ditranslasikan oleh !
2. Tentukan bayangan dari sebuah persegi ABCD dengan A (1, 3), B (4, 3), C (4, 0) dan D (1, 0) jika dicerminkan terhadap:
a. Sumbu x e. Pangkal koordinat
b. Sumbu y f. Titik (0, -1)
c. Garis x = 5 g. Garis y = x
d. Garis y = -1 h. Garis y = -x
3. Tentukan bayangan dari suatu segitiga ABC dengan A (-5, 3), B (-3, 6), dan C (-2, 2) jika diputar dengan pusat ;
a. O (0,0), sejauh c. pangkal koordinat, sejauh -90
b. titik C, sejauh d. titik A, sejauh 270
4. Tentukan bayangan dari sebuah persegi panjang KLMN dengan K (-3, 1), L (2, 1), M (2, 3), dan N (-3, 3) jika di dilatasi oleh:
a. [O, 3] b. [P, 2] dengan P (2, 0)
LKS 1
1.1 Bangun Ruang dan Unsur-unsurnya
I. Lengkapilah pernyataan berikut!
1. unsur-unsur bangun ruang
a. Balok
Sebuah balok ABCD.EFGH memiliki beberapa unsur yaitu :
Mempunyai 6 buah sisi, yaitu ……, ……., ………, …….., ……..., dan …….. Masing-masing berbentuk ………...
Mempunyai 12 buah rusuk, yaitu ….., ….., …., …., …., …., …., …., …., …., …., dan …..
Mempunyai 12 diagonal sisi, yaitu …., …., …., …., …., …., …., …., …., …., …., dan …..
Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu …., …., …., dan …..
b. Kubus
Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki beberapa unsur yaitu :
Mempunyai …. buah sisi yang berbentuk ……. yang semuanya kongruen.
Mempunyai …… rusuk yang semuanya sama panjang.
Mempunyai …... diagonal sisi yang sama panjang.
Mempunyai …… buah diagonal ruang yang sama panjang.
c. Prisma
Ada beberapa macam bentuk prisma diantaranya adalah:
Prisma ………….
Prisma ………….
d. Limas
Berdasarkan bidang alasnya, terdapat beberapa macam limas antara lain:
Limas …………..
Limas …………..
Limas …………..
e. Kerucut
Diketahui sebuah kerucut yang alasnya berbentuk lingkaran. ….. dan ….. merupakan garis pelukis (apotema). ….. sebagai pusat lingkaran dengan jari-jari …... Sebagai tinggi kerucut adalah ….. dan titik ….. sebagai puncak kerucut.
f. Tabung
Unsur-unsur tabung antara lain:
Mempunyai …. buah sisi, dua sisi diantaranya berbentuk ……...dan satu lainnya berbentuk bidang ……….
Garis TM = S merupakan garis ……… tabung.
Setiap garis pada bidang lengkung yang sejajar dengan sumbu S disebut garis ………… (misalnya AD, BC, dan PQ)
g. Bola
Suatu bola dapat dibentuk dengan memutar …… bangun setengah lingkaran dengan sumbu putar …………….
Pada sebuah bola, titik M sebagai …… bola, MA = MB = r = …….. dan AB = ………… bola.
2. Gambarkan jaring-jaring bangun ruang dibawah!
1) Jaring-jaring kubus
2) Jaring-jaring bidang empat beraturan
3) Jaring-jaring limas
4) Jaring-jaring tabung
5) Jaring-jaring kerucut
II. Latihan
1. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan:
a. Panjang diagonal bidang
b. Panjang diagonal ruang
c. Luas bidang diagonal BDHF
2. Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran panjang 80 mm, lebar 60 mm, dan tinggi 30 mm. Tentukan:
a. Panjang diagonal sisi BD dan panjang diagonal ruang EC
b. Luas bidang diagonal ACGE
LKS 2
1.2 Luas Permukaan Bangun Ruang
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Sebuah balok berukuran panjang 10 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 6, 5 cm. Tentukan luas permukaannya!
2. Tentukan luas seluruh permukaan sebuah balok yang mempunyai panjang 0, 8 m, lebar 0, 4 m, dan tinggi 0, 6 m!
3. Hitunglah luas permukaan sebuah limas persegi dengan panjang sisi alas 10 cm dan tingginya 12 cm!
4. Jika diketahui sebuah prisma dengan alas segitiga sama sisi ( ABC, AB = BC = AC = 0,4 m) dan tingginya 0, 5 m. Hitunglah luas permukaan prisma tersebut!
5. Hitunglah luas permukaan sebuah silinder tertutup yang memiliki diameter 70 cm, dan panjang silinder 120 cm!
6. Tentukan luas permukaan sebuah kerucut yang memiliki diameter alas 25 mm dan tinggi 33 mm!
7. Diketahui diameter sebuah bola adalah 0, 7 m. Berapakah luas permukaan bola tersebut!
II. Kesimpulan
1) Balok
Jika L = luas permukaan benda, p = panjang, l = lebar, dan t = tinggi, maka:
L = 2 ( )
2) Kubus
Jika s adalah rusuk kubus, maka: Luas permukaan =
3) Prisma segitiga dan prisma segilima
Jika K = keliling alas, t = tinggi prisma, dan La = luas alas, maka:
Luas permukaan =
4) Tabung
Jika Ls = luas selimut, Lp = luas seluruh permukaan, r = jari-jari, t = tinggi tabung, maka: Ls = dan Lp =
5) Limas
Lp = Luas alas + Luas selimut
Luas alas = AB BC T
Luas selimut = …. Luas TBC
Luas TBC = BC TE A B
6) Kerucut
Jika Ls = luas selimut, Lp = luas seluruh permukaan, r = jari-jari, t = tinggi kerucut dan s = panjang garis pelukis (sisi miring pada segitiga siku-siku), maka:
Ls = dan Lp =
7) Bola
Jika L = Luas permukaan bola, dan r = jari-jari bola, maka:
L =
III. Latihan
1. Sebuah bak air berbentuk prisma persegi panjang dengan panjang 300 cm, lebar 80 cm dan tinggi 60 cm. Tentukan luas permukaan bak tersebut!
2. Tentukan luas permukaan pipa tertutup dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 21 cm!
3. Tentukan luas permukaan bola yang berdiameter 40 cm!
4. Sebuah piramide limas mempunyai panjang sisi alas 10 cm dan tinggi 12 cm. Tentukan luas permukaannya!
LKS 3
1.3 Volume Bangun Ruang
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Sebuah balok berukuran panjang 10 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 6, 5 cm. Tentukan volumenya!
2. Tentukan volume sebuah balok yang mempunyai panjang 0, 8 m, lebar 0, 4 m, dan tinggi 0, 6 m!
3. Hitunglah volume sebuah limas persegi dengan panjang sisi alas 10 cm dan tingginya 12 cm!
4. Jika diketahui sebuah prisma dengan alas segitiga sama sisi ( ABC, AB = BC = AC = 0,4 m) dan tingginya 0, 5 m. Hitunglah volume prisma tersebut!
5. Hitunglah volume sebuah silinder tertutup yang memiliki diameter 70 cm, dan panjang silinder 120 cm!
6. Tentukan volume sebuah kerucut yang memiliki diameter alas 25 mm dan tinggi 33 mm!
7. Diketahui diameter sebuah bola adalah 0, 7 m. Berapakah volume bola tersebut!
II. Kesimpulan
a. Volume Balok
Jika sebuah balok berukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t
maka : V =
b. Volume Kubus
Jika sebuah kubus dengan panjang rusuk a, maka volume kubus (V) adalah: V =
c. Volume Prisma
Sebuah prisma mempunyai rumus volume: V = …….. … ……………..
d. Volume Limas
Volume sebuah limas ditentukan oleh rumus: V = ………... …….
e. Volume Kerucut
Jika sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r dan tinggi kerucut t, maka: V = … ….
f. Volume Tabung
Jika suatu tabung dengan jari-jari lingkaran alas r dan tinggi tabung adalah t, maka volumenya: V = …. ….
g. Volume Bola
Volume suatu bola dengan jari-jari r adalah:
III. Latihan
1. Sebuah tangki prisma persegi panjang memiliki panjang 3 m, lebar 80 cm, dan tingginya 60 cm. Tentukan volume tangki tersebut!
2. Sebuah tabung dengan diameter 21 cm dan tinggi 35 cm. Tentukan volume maksimum tabung tersebut!
3. Tentukan volume limas persegi dengan panjang sisi alas 15 cm dan tingginya 20 cm!
4. Tentukan volume kerucut dengan diameter 14 m dan tingginya 24 m!
5. Tentukan volume bola yang berdiameter 25 cm!
LKS 4
1.4 Hubungan antar Unsur dalam Bangun Ruang
I. Selesaikan pernyataan berikut!
1. Proyeksi sebuah titik pada sebuah garis
Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan
menarik garis tegak lurus dari titik P ke garis g. Perpotongan garis P
tegak lurus dari titik P dengan garis g yaitu titik P’. P
Keterangan:
P = ..........
P’ = ............
PP’ = ........... P’
G = ............
2. Proyeksi titik pada bidang P
Keterangan:
P = ...............
.....= titik hasil proyeksi H
PP’ = ...............................
H = ...............................
PP’ tegak lurus pada bidang H
3. Hubungan antara garis dengan garis
Hubungan dua buah garis dapat berupa:
a. Dua buah garis ..............., adalah dua garis yang terletak dalam satu bidang yang memiliki arah yang sama.
b. Dua garis ....................., adalah dua garis yang terletak dalam satu bidang yang bertemu di satu titik.
c. Dua garis ......................, adalah dua garis yang terletak pada bidang yang berbeda dan jika diproyeksikan salah satu diantaranya akan bertemu di satu titik.
4. Proyeksi garis pada bidang
Keterangan: B g
...... = bidang yang menerima proyeksi A
g = ............................
AA’ dan BB’ = ........................... A’ B’ g’
A’B’ = ......................... H
ABB’A’ = ........................
5. Sudut antara garis dan bidang g
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang
dibentuk oleh .............. dengan .................. pada
bidang H. H
6. Sudut antara dua bidang H G
Sudut antara dua bidang yang berpotongan E F
adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis
yang .................. serta masing-masing garis itu C D
tegak lurus terhadap garis potong antara A B
bidang …….. dan bidang BDG.
Sudut antara bidang ABCD dan bidang BDG adalah sudut ...........
Garis OG mewakili bidang .......... dan garis ....... mewakili bidang ABC.
II. Latihan soal
1. Diketahui limas T.ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang, AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Hitunglah!
a. Panjang AC
b. Jarak titik T ke bidang ABCD
c. Panjang proyeksi garis AT ke bidang ABCD
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.
Hitunglah jarak titik C ke bidang BDG!
3. Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH dengan panjang 24 cm, lebar 18 cm, dan tinggi 14 cm. Tntukanlah panjang proyeksi garis:
a. DF pada bidang EFGH
b. DE pada bidang ABFE
c. CF pada bidang ADHE
4. Diketahui suatu kubus dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan besar sudut antara:
a. Garis BG dan garis CH c. Garis AH dan garis CG
b. Garis AF dan garis CD d. Garis BF dan garis EG
5. Tentukanlah besar sudut antara bidang KMQO dan bidang LNRP pada sebuah kubus dengan panjang diagonal ruang !
LKS 1
1.1 Peluang
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Sebuah dadu mata enam dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil?
Penyelesaian:
Ruang sampel S = {……………..}, maka n(S) = ……
Kejadian A = {……………….}, maka n(A) = ……
Jadi, P(A) =
2. Berapakah frekuensi harapan muncul mata kurang dari 4 dalam pelantunan dadu mata enam sebanyak 50 kali?
Penyelesaian:
A = {…………….}, maka n(A) = …..
S = {……………..}, maka n(s) = …..
P(A) =
Fh(A) = kali
3. Sebuah dadu mata enam dilemparkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 4 atau kurang dari 3?
Penyelesaian:
S = {……………..}, maka n(S) = …….
A = { 4 }, maka n(A) = …..
B = {………}, maka n(B) = …... , dengan A B =
P (A B) = P(….) + P(….) =
4. Dalam sebuah tas terdapat 8 bola yang terdiri atas 6 bola merah dan 2 bola biru. Jika diambil dua bola, berapakah peluang terambilnya kedua-duanya merah?
Penyelesaian:
n(S) = 8, n(A) = 6, n(B) = 2
Peluang bola merah pada pengambilan pertama, P(A ) =
Peluang bola merah pada pengambilan kedua, P(A ) =
Jadi, P(A B) = P(A) P(B) = =
II. Kesimpulan
o Setiap proses yang menghasilkan suatu kejadian disebut ………. sedangkan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ………………
o Jika A adalah suatu kejadian munculnya suatu percobaan, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan P(A) =
o Frekuensi harapan suatu kejadian pada suatu percobaan A , dinyatakan dengan Fh(A) = P(….) ….
o Himpunan A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas, jika A B = , maka P (A B) = P(….) + P(….)
o Jika A dan B merupakandua kejadian yang saling bebas, maka peluang peluang kejadian A dan B adalah P (A dan B) = P(…) P(….)
III. Latihan
1. Sebuah dadu mata enam dilemparkan satu kali. Berapa peluang munculnya:
a. mata dadu 3
b. mata dadu prima
c. mata dadu kurang dari 4
2. Dalam pelantunan dua mata uang logam bersama-sama sebanyak 150 kali. Berapa kali harapan munculnya:
a. dua gambar
b. dua angka
c. paling sedikit satu angka
3. Dari setumpuk kartu bridge (52 lembar) diambil acak, berapakah peluang terambilnya:
a. kartu bernomor 4 atau bernomor 8
b. kartu As atau kartu King
4. Dua keping mata uang logam dilempar sekali secara bersamaan. Berapakah peluang munculnya:
a. satu gambar atau satu angka
b. dua gambar atau dua angka
5. Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu mata enam dilemparkan bersama-sama. Tentukan peluang munculnya angka dan mata dadu 2!
6. a dan b adalah dua kejadian yang saling bebas. Jika P(a) = 0,6 dan P(b) = 0,3. Tentukan peluang kejadian a dan b!
LKS 2
1.2 Permutasi dan Kombinasi
I. Selesaikan soal-soal berikut!
1. Hitunglah hasil dari:
a. 5! b. 6!
Penyelesaian:
a. 5! = … … … … … = …
b. 6! = … … … … … … = …
2. Dari 3 orang yaitu A, B dan C akan dipilih seorang ketua dan wakilnya. berapa alternatif yang didapat?
3. Terdapat 3 orang yang duduk melingkar di sebuah meja bundar. Berapa cara urutan siklik yang mungkin terjadi?
Penyelesaian:
(…. - 1) ! = … … = …. cara
4. Berapakah banyaknya susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari kata “BAFANA”?
Penyelesaian:
P =
5. Drai sekelompok orang yang berjumlah 5 orang, akan diambil 3 orang diantaranya. Berapa cara susunan orang yang mungkin?
Penyelesaian:
C cara
II. Kesimpulan
o Secara umum, faktorial dapat dituliskan sebagai:
n ! = …. (…- 1) (…- 2) … 3 2 1
o Banyaknya permutasi k unsur dari n unsur yang berbeda, secara umum ditulis sebagai P
o Pemutasi siklik adalah permutasi yang objeknya disusun dalam bentuk ………….
Secara umum dirumuskan sebagai P
o Jika dari n unsur, ada a unsur sama, b unsur sama dan seterusnya, maka banyaknya permutasi dari n unsur seluruhnya adalah :
P =
o Secara umum, banyak kombinasi k unsur yang berbeda dari n unsur yang ada dirumuskan sebagai: C
III. Latihan
1. Hitunglah!
a. P c. C
b. P d. C
2. Pada sebuah organisasi terdapat 8 calon pengurus. Dari 8 calon tersebut akan dipilih 3 orang, masing-masing sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara.
a. Tentukan banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk membentuk pengurus tersebut!
b. Jika 1 orang dari 8 calon tersebut langsung ditetapkan sebagai bendahara, berapakah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk membentuk pengurus tersebut!
3. Sekelompok orang berjumlah 5 orang akan memasuki sebuah ruangan yang telah tersedia 8 kursi yang disusun berjajar.
a. Barapa carakah sekelompok orang tersebut menduduki kursi yang tersedia?
b. Jika 2 orang dari 5 orang itu harus duduk berdampingan, berapa cara yang dapat terjadi?
4. Terdapat 25 pemain bola, akan dibentuk tim inti sejumlah 11 pemain.
a. Berapa cara tim inti itu dapat terbentuk?
b. Jika 5 pemain sudah pasti masuk tim inti, maka berapa cara untuk membentuk tim inti tersebut?
Laporan Penilitian
Mengatasi Kesulitan Belajar Matematika Di Kelas VI Sekolah Dasar Negeri Sidomulyo Pada Pokok Bahasan Pengukuran
Diajukan Kepada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Psikologi Belajar Matematika
Oleh :
Sukardi
05301244071
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGAYAKARTA
2006
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat rahmat dan hidayah – Nya penyusunan penilitian Mengatasi Kesulitan Belajar Matematika Di Kelas VI Sekolah Dasar Negeri Sidomulyo Pada Pokok Bahasan Pengukuran akhirnya dapat diselesaikan untuk memenuhi tugas mata kuliah Psikologi Belajar. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan laporan ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, sehingga pada kesempatan ini penulis ucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. H. Suryanto, selaku dosen pengampu mata kuliah Psikologi Belajar Matematika dan Sebagai pembimbing dalam penyusunan proposal ini
2. Kepala sekolah, dan guru SD Negeri Sidomulyo yang telah memberikan ijin untuk melakukan penilitian
3. Bapak dan ibu tercinta, yang telah memberikan dukungan
4. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu guna terlaksananya penyusunan laporan ini.
Akhirnya, penulis berharap semoga laporan penelitian ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi penulis, juga bagi yang membaca. Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan laporan ini. Untuk itu penulis mengaharapkan saran dan kritik yang membangun guna kesempurnaan laporan ini.
Yogyakarta, Desember 2006
Penulis
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Matematika merupakan suatu mata pelajaran yang sangat penting, pelajaran matematika diajarkan pada setiap jenjang pendidikan di Indonesia mulai dari Sekolah Dasar (SD) sampai dengan Sekolah Menengah Atas (SMA). Matematika juga mendukung mata pelajaran lain di sekolah. Seorang siswa yang kurang bagus pada pelajaran matematika, akan mengalami hambatan ketika mempelajari pelajaran lain yang membutuhkan hitung – menghitung ekstra, sehingga nilai mata pelajaran tersebut kurang memuaskan.
Dalam proses belajar mengajar di kelas terdapat keterkaitan yang erat antara guru, siswa, kurikulum, sarana dan prasarana. Guru mempunyai tugas untuk memilih model dan media pembelajaran yang tepat sesuai dengan materi yang disampaikan demi tercapainya tujuan pendidikan. Sampai saat ini masih banyak ditemukan kesulitan-kesulitan yang dialami siswa di dalam mempelajari matematika. Guru juga harus dapat mengetahui kemampuan seluruh siswanya. Banyaknya materi yang harus disampaikan dan terbatasnya waktu, seringkali guru dalam menyampaikan materi terlalu terburu-buru, sedangkan kemampuan menangkap pelajaran siswa berbeda-beda, sehingga ilmu yang didapat kurang maksimal
Karena pendidikan merupakan salah satu hal penting untuk menentukan maju mundurnya suatu bangsa, maka untuk menghasilkan sumber daya manusia sebagai subyek dalam pembangunan yang baik, diperlukan modal dari hasil pendidikan itu sendiri. Khusus untuk mata pelajaran matematika, selain mempunyai sifat yang abstrak, pemahaman konsep yang baik sangatlah penting karena untuk memahami konsep yang baru diperlukan prasarat pemahaman konsep sebelumnya.
Sebagai siswa harus mampu mengusai pelajaran matematika dengan baik, walaupun sulit dipelajari. Kesulitan mempelajari matematika mempengaruhi senang atau tidak siswa terhadap pelajaran matematika. Ada siswa yang makin tertantang ketika menghadapi soal matematika yang sulit dan berusaha untuk memecahkannya, tetapi bahkan banyak siswa putus asa terhadap soal itu. Ketika siswa itu memperoleh kesulitan mempelajari matematika, siswa tersebut akan bosan, dan mudah menyerah mengerjakan soal.
B. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dikemukakan rumusan masalah sebagai berikut :
1. Apa saja penyebab siswa kelas VI SD N Sidomulyo mengalami kesulitan belajar matamatika ?
2. Mengapa siswa bosan kelas VI SD N Sidomulyo terhadap pelajaran matematika ?
C. TUJUAN PENELITIAN
Tujuan yang ingin dicapai dari program penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Dapat menunjukan penyebab siswa kelas VI SD N Sidomulyo mengalami kesulitan belajar matamatika,
2. Membuat siswa senang terhadap pelajaran matematika.
BAB II
KAJIAN TEORI
Menurut J. Bruner dalam Hidayat (2004:8) belajar merupakan suatu proses aktif yang memungkinkan manusia untuk menemukan hal-hal baru diluar informasi yang diberikan kepada dirinya. Pengetahuan perlu dipelajari dalam tahap-tahap tertentu agar pengetahuan itu dapat diinternalisasi dalam pikiran (struktur kognitif) manusia yang mempelajarinya. Proses internalisasi akan terjadi secara sungguh-sungguh (yang berarti proses belajar mengajar terjadi secara optimal) jika pengetahuan itu dipelajari dalam tahap-tahap sebagai berikut:
Tahap Enaktif
Suatu tahap pembelajaran di mana pengetahuan dipelajari secara aktif dengan menggunakan benda-benda konkret atau situasi yang nyata.Tahap Ikonik
Suatu tahap pembelajaran di mana pengetahuan direpresentasikan (diwujudkan) dalam bentuk bayangan visual (visual imagery), gambar atau diagram yang menggambarkan kegiatan konkret atau situasi konkret yang terdapat pada tahap enaktif.Tahap Simbolik
Suatu tahap pembelajaran di mana pengetahuan itu direpresentasikan dalam bentuk simbol-simbol abstrak, baik symbol-simbol verbal (misalkan huruf-huruf, kata-kata atau kalimat-kalimat), lambang-lambang matematika maupun lambang-lambang abstrak lainnya (Hidayat, 2004:9)
Pembelajaran adalah upaya untuk menciptakan iklim dan pelayanan terhadap kemampuan, potensi, minat, bakat dan kebutuhan peserta didik yang beragam agar terjadi interaksi optimal antara guru dengan siswa serta antara siswa dengan siswa (Suyitno, 2004:1). Agar tujuan pengajaran dapat tercapai, guru harus mampu mengorganisir semua komponen sedemikian rupa sehingga antara komponen yang satu dengan lainnya dapat berinteraksi secara harmonis (Suhito, 2000:12)
Matematika adalah atudy tentang kuantitas, struktur ruang, dan perubahan. Matematika dikembangkan melalui penggunaan abstraksi dan penalaran logis mulai dari perhiungan, pengukuran, dan study bentuk sert gerak obyek fisis. ( www.fisikanet.lipi.go.id/4tamacgi?artikel&11186508554b-29k )
Metode Pembelajran Matematika yaitu suatu cara atau tekhnik pembelajaran matematika yang disusun secara sistematik dan logic ditinjau dari segi hakekat matematika dari segi psikologinya.
Dalam jurnal “Mengenal Belajar Siswa Untuk Mengatasi Kegagalan” Pudjo Sumedi AS menerangakn bahwa, Strategi adalah cara siswa memenuhi atau menghindari tuntutan yang dikenakan kepadanya oleh orang dewasa di sekolah. ( www.depdiknas.go.id/jurnal/29/mengenal_belajar_siswauntuk_meng.htm )
Dwijo Saputro mengatakan bahwa menurut Clement (1966), Kesulitan belajar adalah kondisi dimana anak dengan kemampuan intelegensi rata-rata atau di atas rata-rata, namun memiliki ketidakmampuan atau kegagalan dalam belajar yang berkaitan dengan hambatan dalam proses persepsi, konseptualisasi, berbahasa, memori, serta pemusatan perhatian, penguasaan diri, dan fungsi integrasi sensori motorik. Berdasarkan pandangan Clement tersebut maka pengertian kesulitan belajar adalah kondisi yang merupakan sindrom multidimensional yang bermanifestasi sebagai kesulitan belajar spesifik (spesific learning disabilities), hiperaktivitas dan/atau distraktibilitas dan masalah emosional.
Faktor-faktor penyebab kesulitan belajar pada umumnya disebabkan oleh faktor psikologik, faktor lingkungan, dan faktor organobiologik/neurobiologik. Anak yang menunjukkan perilaku hiperaktivitas tidak selalu abnormal. Banyak anak yang menunjukkan perilaku yang aktif namun perilaku tersebut merupakan bagian dari perilaku enerjik semata. Oleh karena itu orang tua, guru, atau dokter harus dapat membedakan antara anak yang hiperaktif dengan anak yang meng alami gangguan hiperkinetik atau gangguan pemusatan perhatian dan hiperaktivitas (GPPH), atau Attention Deficit Hyperactivity Disorder (ADHD)
BAB III
METODE PENELITIAN
A. SUBJEK PENELITIAN
Subjek dari penelitian ini adalah siswa kelas VI SD Negeri Sidomulyo, desa Sidomulyo, kecamatan Pengasih, kabupaten Kulonprogo. Dengan mengambil 6 anak yang dianggap kurang mampu oleh guru kelas.
B. TEMPAT PENELITIAN
Penelitian dilaksanakan di SD Negeri Sidomulyo, desa Sidomulyo, kecamatan Pengasih, kabupaten Kulonprogo
Mengatasi Kesulitan Belajar Matematika Di Kelas VI Sekolah Dasar Negeri Sidomulyo Pada Pokok Bahasan Pengukuran
Diajukan Kepada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Psikologi Belajar Matematika
Oleh :
Sukardi
05301244071
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGAYAKARTA
2006
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat rahmat dan hidayah – Nya penyusunan penilitian Mengatasi Kesulitan Belajar Matematika Di Kelas VI Sekolah Dasar Negeri Sidomulyo Pada Pokok Bahasan Pengukuran akhirnya dapat diselesaikan untuk memenuhi tugas mata kuliah Psikologi Belajar. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan laporan ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, sehingga pada kesempatan ini penulis ucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. H. Suryanto, selaku dosen pengampu mata kuliah Psikologi Belajar Matematika dan Sebagai pembimbing dalam penyusunan proposal ini
2. Kepala sekolah, dan guru SD Negeri Sidomulyo yang telah memberikan ijin untuk melakukan penilitian
3. Bapak dan ibu tercinta, yang telah memberikan dukungan
4. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah membantu guna terlaksananya penyusunan laporan ini.
Akhirnya, penulis berharap semoga laporan penelitian ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi penulis, juga bagi yang membaca. Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan laporan ini. Untuk itu penulis mengaharapkan saran dan kritik yang membangun guna kesempurnaan laporan ini.
Yogyakarta, Desember 2006
Penulis
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Matematika merupakan suatu mata pelajaran yang sangat penting, pelajaran matematika diajarkan pada setiap jenjang pendidikan di Indonesia mulai dari Sekolah Dasar (SD) sampai dengan Sekolah Menengah Atas (SMA). Matematika juga mendukung mata pelajaran lain di sekolah. Seorang siswa yang kurang bagus pada pelajaran matematika, akan mengalami hambatan ketika mempelajari pelajaran lain yang membutuhkan hitung – menghitung ekstra, sehingga nilai mata pelajaran tersebut kurang memuaskan.
Dalam proses belajar mengajar di kelas terdapat keterkaitan yang erat antara guru, siswa, kurikulum, sarana dan prasarana. Guru mempunyai tugas untuk memilih model dan media pembelajaran yang tepat sesuai dengan materi yang disampaikan demi tercapainya tujuan pendidikan. Sampai saat ini masih banyak ditemukan kesulitan-kesulitan yang dialami siswa di dalam mempelajari matematika. Guru juga harus dapat mengetahui kemampuan seluruh siswanya. Banyaknya materi yang harus disampaikan dan terbatasnya waktu, seringkali guru dalam menyampaikan materi terlalu terburu-buru, sedangkan kemampuan menangkap pelajaran siswa berbeda-beda, sehingga ilmu yang didapat kurang maksimal
Karena pendidikan merupakan salah satu hal penting untuk menentukan maju mundurnya suatu bangsa, maka untuk menghasilkan sumber daya manusia sebagai subyek dalam pembangunan yang baik, diperlukan modal dari hasil pendidikan itu sendiri. Khusus untuk mata pelajaran matematika, selain mempunyai sifat yang abstrak, pemahaman konsep yang baik sangatlah penting karena untuk memahami konsep yang baru diperlukan prasarat pemahaman konsep sebelumnya.
Sebagai siswa harus mampu mengusai pelajaran matematika dengan baik, walaupun sulit dipelajari. Kesulitan mempelajari matematika mempengaruhi senang atau tidak siswa terhadap pelajaran matematika. Ada siswa yang makin tertantang ketika menghadapi soal matematika yang sulit dan berusaha untuk memecahkannya, tetapi bahkan banyak siswa putus asa terhadap soal itu. Ketika siswa itu memperoleh kesulitan mempelajari matematika, siswa tersebut akan bosan, dan mudah menyerah mengerjakan soal.
B. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dikemukakan rumusan masalah sebagai berikut :
1. Apa saja penyebab siswa kelas VI SD N Sidomulyo mengalami kesulitan belajar matamatika ?
2. Mengapa siswa bosan kelas VI SD N Sidomulyo terhadap pelajaran matematika ?
C. TUJUAN PENELITIAN
Tujuan yang ingin dicapai dari program penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Dapat menunjukan penyebab siswa kelas VI SD N Sidomulyo mengalami kesulitan belajar matamatika,
2. Membuat siswa senang terhadap pelajaran matematika.
BAB II
KAJIAN TEORI
Menurut J. Bruner dalam Hidayat (2004:8) belajar merupakan suatu proses aktif yang memungkinkan manusia untuk menemukan hal-hal baru diluar informasi yang diberikan kepada dirinya. Pengetahuan perlu dipelajari dalam tahap-tahap tertentu agar pengetahuan itu dapat diinternalisasi dalam pikiran (struktur kognitif) manusia yang mempelajarinya. Proses internalisasi akan terjadi secara sungguh-sungguh (yang berarti proses belajar mengajar terjadi secara optimal) jika pengetahuan itu dipelajari dalam tahap-tahap sebagai berikut:
Tahap Enaktif
Suatu tahap pembelajaran di mana pengetahuan dipelajari secara aktif dengan menggunakan benda-benda konkret atau situasi yang nyata.Tahap Ikonik
Suatu tahap pembelajaran di mana pengetahuan direpresentasikan (diwujudkan) dalam bentuk bayangan visual (visual imagery), gambar atau diagram yang menggambarkan kegiatan konkret atau situasi konkret yang terdapat pada tahap enaktif.Tahap Simbolik
Suatu tahap pembelajaran di mana pengetahuan itu direpresentasikan dalam bentuk simbol-simbol abstrak, baik symbol-simbol verbal (misalkan huruf-huruf, kata-kata atau kalimat-kalimat), lambang-lambang matematika maupun lambang-lambang abstrak lainnya (Hidayat, 2004:9)
Pembelajaran adalah upaya untuk menciptakan iklim dan pelayanan terhadap kemampuan, potensi, minat, bakat dan kebutuhan peserta didik yang beragam agar terjadi interaksi optimal antara guru dengan siswa serta antara siswa dengan siswa (Suyitno, 2004:1). Agar tujuan pengajaran dapat tercapai, guru harus mampu mengorganisir semua komponen sedemikian rupa sehingga antara komponen yang satu dengan lainnya dapat berinteraksi secara harmonis (Suhito, 2000:12)
Matematika adalah atudy tentang kuantitas, struktur ruang, dan perubahan. Matematika dikembangkan melalui penggunaan abstraksi dan penalaran logis mulai dari perhiungan, pengukuran, dan study bentuk sert gerak obyek fisis. ( www.fisikanet.lipi.go.id/4tamacgi?artikel&11186508554b-29k )
Metode Pembelajran Matematika yaitu suatu cara atau tekhnik pembelajaran matematika yang disusun secara sistematik dan logic ditinjau dari segi hakekat matematika dari segi psikologinya.
Dalam jurnal “Mengenal Belajar Siswa Untuk Mengatasi Kegagalan” Pudjo Sumedi AS menerangakn bahwa, Strategi adalah cara siswa memenuhi atau menghindari tuntutan yang dikenakan kepadanya oleh orang dewasa di sekolah. ( www.depdiknas.go.id/jurnal/29/mengenal_belajar_siswauntuk_meng.htm )
Dwijo Saputro mengatakan bahwa menurut Clement (1966), Kesulitan belajar adalah kondisi dimana anak dengan kemampuan intelegensi rata-rata atau di atas rata-rata, namun memiliki ketidakmampuan atau kegagalan dalam belajar yang berkaitan dengan hambatan dalam proses persepsi, konseptualisasi, berbahasa, memori, serta pemusatan perhatian, penguasaan diri, dan fungsi integrasi sensori motorik. Berdasarkan pandangan Clement tersebut maka pengertian kesulitan belajar adalah kondisi yang merupakan sindrom multidimensional yang bermanifestasi sebagai kesulitan belajar spesifik (spesific learning disabilities), hiperaktivitas dan/atau distraktibilitas dan masalah emosional.
Faktor-faktor penyebab kesulitan belajar pada umumnya disebabkan oleh faktor psikologik, faktor lingkungan, dan faktor organobiologik/neurobiologik. Anak yang menunjukkan perilaku hiperaktivitas tidak selalu abnormal. Banyak anak yang menunjukkan perilaku yang aktif namun perilaku tersebut merupakan bagian dari perilaku enerjik semata. Oleh karena itu orang tua, guru, atau dokter harus dapat membedakan antara anak yang hiperaktif dengan anak yang meng alami gangguan hiperkinetik atau gangguan pemusatan perhatian dan hiperaktivitas (GPPH), atau Attention Deficit Hyperactivity Disorder (ADHD)
BAB III
METODE PENELITIAN
A. SUBJEK PENELITIAN
Subjek dari penelitian ini adalah siswa kelas VI SD Negeri Sidomulyo, desa Sidomulyo, kecamatan Pengasih, kabupaten Kulonprogo. Dengan mengambil 6 anak yang dianggap kurang mampu oleh guru kelas.
B. TEMPAT PENELITIAN
Penelitian dilaksanakan di SD Negeri Sidomulyo, desa Sidomulyo, kecamatan Pengasih, kabupaten Kulonprogo
Langganan:
Komentar (Atom)
Postingan
