BENTUK PANGKAT DAN BENTUK AKAR

BENTUK PANGKAT
Jika terdapat pernyataan 2^n, maka 2 disebut dengan bilangan pokok sedangkan n disebut dengan bilangan pangkat atau dapat juga disebut dengan eksponen.
Definisi:
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan a adalah bilangan real, maka a^n didefinisikan sebagai perkalian n factor yang masing-masing faktornya adalah a.
a^n=a×a×a×a×….×a

n factor
Untuk m dan n bilangan bulat positif, berlaku Sifat-sifat pangkat bulat positif:



a^0=1 dengan a≠0
a^(-n)=1/a^n

Contoh soal:
Nyatakan dalam perkalian berulang:
5^3
(-1/3)^5
x^4
Penyelesaian:
5^3=5×5×5
(-1/3)^5=(-1/3)×(-1/3)×(-1/3)×(-1/3)×(-1/3)
x^4=x.x.x.x
Sederhanakanlah:
a^6/a^2
5d^5:10d^2
(a^8 b^3 c^4)/(a^2 〖cb〗^2 )
2a^4 b×3a^5 b^3
Penyelesaian
a^6/a^2 =(a×a×a×a×a×a)/(a×a)=a×a×a×a=a^4 dapat juga diselesaikan dengan sifat
a^6/a^2 =a^(6-2)=a^4
5d^5:10d^2=〖(5:10)d〗^(5-2)=d^3/2
(a^8 b^3 c^4)/(a^2 〖cb〗^2 )=a^(8-2) b^(3-2) c^(4-1)=a^6 bc^3
2a^4 b×3a^5 b^3=(2×3)×(a^4×a^5 )×(b×b^3)
=6a^9 b^4

Latihan Soal:
Sederhanakanlah
((x^(-1) y^(1/2) z)/(x^(-2/3) y^(1/3) z))^6
(x^3/y)^m (y^m/x^3 )^m

BENTUK AKAR.
Sifat bentuk akar:
a^□(1/n)=√(n&a) dan a^□(m/n)=√(n&a^m )
√(n&a) mewakili suatu bilangan rasional jika dan hanya jika a adalah perkalian berulang sebanyak n faktor dari suatu bilangan rasional lainnya. Contoh:
Untuk n=2; √4,√9,dan √16 adalah bilangan rasional karena √4=2 atau 2×2=4,√9=3 atau 3×3=9 atau √16=4 atau 4×4=16.
Untuk n>2; ∛27,∜81,√(5&-32) adalah bilangan rasional.
Sedangkan √2,√5,∛9,√15 adalah bilangan irrasional karena bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q≠0. Bilangan-bilangan irrasional tersebutlah yang disebut dengan bentuk akar.
Sifat:
Untuk setiap bilangan real a dan b, dan bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga √(n&a) dan √(n&b) adalah real maka berlaku sifat:
(√(n&a))^n= a jika n genap
a jika n ganjil
√(n&a).√(n&b)=√(n&ab)
(√(n&a) )/(√(n&b) )=√(n&a/b)
√(m&√(n&a))=√(mn&a)

Contoh Soal:
Sederhanakanlah bentuk √(288x^5 ).
Penyelesaian:
√(288x^5 )=√(144x^4.2x)=12x^2 √2x

Latihan Soal:
Sederhanakanlah:
∛(16a^5 b^8 y^4 )
a^5 ∛(a^2 )
Hitunglah nilai bentuk pangkat di bawah ini jika diketahui nilai variabelnya.
A=4p^2 r^2 dengan p=10,r=1.
Q=2a^(1/2) b^(-1/3) dengan a=100 dan b=64.

OPERASI ALJABAR BENTUK AKAR
Operasi aljabar pada bentuk akar juga berlaku sifat komutatif, assosiatif, dan distributif. Sifat-sifat tersebut berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan real. Jika a dan b bilangan rasional positif, maka berlaku:
√a+√b=√b+ √a
x√a+y√a=(x+y)√a
(√a×√b)^2=√(a) √b×√a √b=√a √a×√b √b=ab
√a×√a=a
√a×√b=√ab

Contoh Soal:
Sederhanakanlah bentuk √18+√8 .
Penyelesaian:
√18+√8=√9.2+√4.2
=3√2+2√2
=5√2

Latihan Soal:
Ubahlah bentuk √(32x^2 y^3 )-√(50xy^2 )-3√(2x^2 y^3 )+5y√2x ke bentuk paling sederhana!

MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN
Suatu pecahan dengan penyebutnya yang merupakan bentuk akar akan lebih mudah dinyatakan sebagai pendekatan desimal apabila penyebutnya dijadikan bilangan rasional. Sebagai contoh untuk menghitung nilai 6/√2 . Pendekatan desimal untuk √2 adalah 1,4142. Tanpa menggunakan kalkulator tentu saja akan memakan waktu yang lama untuk menghitung 6/1,4142 . Cara lain untuk menghitung 6/√2 adalah dengan menggunakan sifat √2×√2=2, perhatikan langkah dibawah ini:
6/√2=6/√2×√2/√2=(6√2)/2=3√2
3√2=3×1,4142=3,2426

Contoh Soal:
Sederhanakan dengan merasionalkan penyebut pecahannya.
k/(√a+√b)
(1-√2)/(1+√2)
Penyelesaian:
k/(√a+√b)=k/(√a+√b)×(√a-√b)/(√a-√b)
=(k(√a-√b))/(a-b)
(1-√2)/(1+√2)=(1-√2)/(1+√2)×(1-√2)/(1-√2)
=(1-2√2+2)/(1-2)=(3-2√2)/(-1)=-3+2√2

Latihan soal:
Rasionalkan penyebut tiap-tiap pernyataan dibawah ini;
a/(√(b+a)-√b)
(√(x+h)-√x)/(√(x+h)+√x)

PERSAMAAN PANGKAT SEDERHANA
Persamaan yang berbentuk a^x=b disebut persamaan pangkat. Misal 4^x=64,5^2x=√5/5, dan 2^3x=4^(2x-1).
Sifat:
a^f(x) =a^c; dengan c konstanta dan a>0, a≠1, maka f(x)=c.
Contoh soal:
Tentukan nilai x yang memenuhi 4^x=64.
Penyelesaian:
4^x=64 (tulis 64 sebagai bilangan pangkat dengan bilangan pokok 4).
4^x=4^3
jadi x=3
Tentukan nilai x yang memenuhi 5^2x=√5/5 .
Penyelesaian:
5^2x=√5/5
5^2x=5^(1⁄2)/5^1
5^2x=5^(1/2-1)
5^(2x)=5^(-1/2)
2x=-1/2
jadi x=-1/4
Tentukan nilai x yang memenuhi 2^3x=4^(2x-1).
Penyelesaian:
2^3x=2^(2(2x-1))
3x=2(2x-1)
3〱=4x-2
-x=-2
Jadi x=2

Latihan Soal:
Tentukan x yang memenuhi persamaan di bawah ini:
9^(3x+2)=1/3^(2x-5)
√(9^(2x+4) )=(1/3)^(-3x-3)
(1/4)^(x-1)=∛(2^(3x+1) )










LOGARITMA

LOGARITMA BASIS 10
Jika diketahui bilangan pokok dan hasil pangkat, maka untuk mencari bilangan pangkat (eksponen) digunakan logaritma.
Contoh:
Jika diketahui 〖10〗^a=1000, maka nilai a adalah logaritma 1000, atau ditulis dengan
(_^10)log⁡〖1000=3〗
Dalam notasi lagaritma, bilangan pokok disebut juga dengan basis.
Catatan: Logaritma dengan bilangan pokok 10 biasanya tidak dituliskan bilangan pokoknya.

LOGARITMA SEBAGAI INVERS DARI PERPANGKATAN
Definisi:
jika dan hanya jikaa^y=x untuk a>0 dan a≠1.
Sebagai contoh ditunjukkan pada table dibawah ini;
Logaritma Bentuk pangkat

〖10〗^2=100

3^2=9

5^3=125

(1/5)^(-3)=125

4^(-3)=1/64

e^0=1

Latihan Soal:
Nyatakan tiap bentuk pangkat dibawah ini dalam bentuk logaritma yang ekuivalen.
(1/√5)^2=5^(-1)
b^z=w
Hitunglah logaritma dibawah ini:


Tentukan x,a, atau u yang memenuhi persamaan dibawah ini:




SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Jika x dan y bilangan real positif dan r bilangan real dimana a>0 dan a≠1,
Sifat-sifat logaritma antara lain:
Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tadi.


Bukti:
Misal : maka …..(1)
maka …..(2)
Jika persamaan (1) dikalikan (2) diperoleh :




….terbukti.
Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan itu.


Bukti:
Misal : maka …..(1)
maka …..(2)




….terbukti.

Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu.


Bukti:

n faktor

n suku
……terbukti.

Mengubah bilangan pokok logaritma.



Bukti:
maka


….terbukti.

…terbukti.
Sifat :



Bukti:
a.

…terbukti.
b.

…terbukti.
c.
…terbukti




Contoh soal:
Tentukan hasil dari :



2. Jika ,maka nyatakanlah dalam a.
Jawab:
a).

b).

c).





Latihan soal:
Tentukan hasil dari :




2. Jika ,maka nyatakanlah logaritma dibawah ini dalam a.